Введение

Арифметика - раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа в развитии представлений о нём и его свойствах.

В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика уделяет внимание определению и анализу понятия числа, в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом. Арифметика является древнейшей и одной из основных математических наук, она тесно связана с алгеброй, геометрией и теорией чисел.

Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, простейших измерениях и вычислениях. Наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности философы-пифагорейцы, пытавшиеся с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.

Объект нашей работы: арифметика, как раздел математики изучающий числа, их отношения и свойства.

Предмет: история арифметики.

Целью нашей работы является изучение исторических сведений о развитии арифметики.

Для выполнения поставленной цели нам необходимо решить следующие задачи:

- определить предмет изучения арифметики;

- изучить историю арифметики;

- рассмотреть этап механизации арифметических вычислений;

- проанализировать роль арифметики в образовании.

Теоретической и методологической базой для написания курсовой работы послужили литературные источники отечественных авторов по истории и методологии арифметики.

В ходе написания работы нами были проанализированы материалы научного, учебного характера, а также официальные электронные источники.

1. Предмет изучения арифметики

Предметом арифметики являются числовые множества, свойства чисел и действия над числами. К ней также относят вопросы, связанные с техникой счёта, измерениями, происхождением и развитием понятия числа.

Арифметика изучает натуральные и рациональные числа, или дроби. На основе аксиоматической структуры множества натуральных чисел осуществляется построение других числовых множеств, включая целые, действительные и комплексные числа, проводится их анализ. Иногда в рамках арифметики рассматривают также кватернионы и другие гиперкомплексные числа. Вместе с тем из теоремы Фробениуса следует, что расширение понятия числа за пределы комплексной плоскости без потери каких-либо его арифметических свойств невозможно.

К основным действиям над числами относят сложение, вычитание, умножение и деление, реже возведение в степень, извлечение корня и решение численных уравнений. Исторически список арифметических действий также включал собственно счёт, удвоение (помимо умножения), деление на два и деление с остатком (помимо деления), поиск суммы арифметической и геометрической прогрессий. Непер в своей книге "Логистическое искусство" разделил арифметические действия по ступеням. На низшей ступени находятся сложение и вычитание, на следующей - умножение и деление, далее - возведение в степень и извлечение корней. Известный методист И. В. Арнольд к операциям третьей ступени относил также логарифмирование. Традиционно арифметикой называют выполнение операций над различными объектами, как то: "арифметика квадратичных форм", "арифметика матриц"[5,с. 76].

Собственно математические расчёты и измерения, необходимые для практических нужд, как то: пропорции, проценты, тройное правило (англ.)русск., относят к низшей или практической арифметике, в то время как логический анализ понятия числа относят к теоретической арифметике. Свойства целых чисел, деление их на части, построение непрерывных дробей являются составной частью теории чисел, которую долгое время считали высшей арифметикой. Арифметика также тесно связана с алгеброй, которая изучает собственно операции без учёта особенностей и свойств чисел. Такие арифметические действия, как возведение в степень и извлечение корней, являются технической частью алгебры.

В этом ключе, вслед за Ньютоном и Гауссом, алгебру принято считать обобщением арифметики. Вообще говоря, чётких границ между арифметикой, элементарной алгеброй и теорией чисел не существует. В БСЭ сказано: "Алгебра изучает, пользуясь буквенными обозначениями, общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений; арифметика занимается приёмами вычислений с конкретно заданными числами, а в своих более высоких областях - более тонкими индивидуальными свойствами чисел".

Как и прочие академические дисциплины, арифметика сталкивается с принципиальными методологическими проблемами; для неё необходимо исследование вопрос о вне противоречивости и полноты аксиом. Логическими построениями формальной системы предикатов и аксиом арифметики занимается формальная арифметика.

Арифметика - элементарный раздел математики, изучающий простейшие виды чисел (натуральные, целые, рациональные) и простейшие арифметические операции над ними (сложение, вычитание, умножение, деление).

С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была связана с техникой счета. Под "арифметикой" во многих странах обычно имеется ввиду именно эта последняя область, которая несомненно является старейшей отраслью математики [9,с. 83].

На сегодняшний день главными арифметическими операциями есть сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Рассмотрим их немножко подробнее.

Сложение – это операция нахождения суммы двух или нескольких чисел, где под суммой понимается общее количество единиц, содержащихся в рассматриваемых числах вместе. Эти числа называются слагаемыми . Например, 16 + 8 = 24. Здесь 16 и 8 – слагаемые, 24 – сумма. Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится: 16 + 8 = 24 и 8 + 16 = 24.

Вычитание является действием, обратным к сложению, так как это операция нахождения одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Вычесть из одного числа (уменьшаемого ) другое ( вычитаемое ) - значит найти такое третье число ( разность ), которое при сложении с вычитаемым дает уменьшаемое: 24 – 8 = 16. Здесь 24 – уменьшаемое, 8 – вычитаемое, 16 – разность.

Умножение. Умножить одно число n ( множимое ) на другое целое число m (множитель ) - значит повторить множимое n в качестве слагаемого m раз. Результат умножения называется произведением .

Например, 12 * 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48. Таким образом, 12 * 4 = 48 или 12 * 4 = 48. Здесь 12 – множимое, 4 – множитель, 48 – произведение. Если множимое n и множитель m поменять местами, то произведение не изменится. Например, 12 * 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48 и соответственно, 4 * 12 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 48. Поэтому множимое и множитель часто называются сомножителями .

Деление является действием, обратным к умножению, так как это операция нахождения одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю: Разделить одно число ( делимое ) на другое ( делитель ) – значит найти такое третье число ( частное), которое при умножении на делитель даёт делимое: 48 : 4 = 12. Здесь 48 – делимое, 4 – делитель, 12 – частное. Частное от деления одного целого числа на другое целое число может и не быть целым числом. Тогда это частное представляется в виде дроби . Если частное – целое число, то говорят, что эти числа делятся нацело. В противном случае мы выполняем деление с остатком . Пример: 23 не делится на 4, в этом случае мы можем записать: 23 = 5 * 4 + 3. Здесь 3 – остаток .

Возведение в степень. Возвести число ( основание степени ) в целую степень (показатель степени ) – значит повторить его сомножителем столько раз, каков показатель степени. Результат называется степенью.

Вторая степень любого числа называется квадратом , третья – кубом . Первой степенью любого числа является само это число.

Извлечение корня является действием, обратным к возведению в степень, так как это операция нахождения основания степени по степени и её показателю. Извлечь корень n-ой степени ( n – показатель корня ) из числа a ( подкоренное число ) – значит найти третье число, n -ая степень которого равна а . Результат называется корнем .

Корень второй степени называется квадратным , корень третьей степени – кубическим. Показатель квадратного корня не записывается:

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня являются попарно взаимно-обратными операциями в арифметике [15,с. 94].