22Случайные величины

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение следующее: пусть   — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция  ,измеримая относительно   и борелевской σ-алгебры на  . Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается еёраспределением.

23 Операции над случайными величинами

Прерывные случайные величины X и Y называются независимыми, если не зависимы при любых i и j, события X=x_i и Y=y_j.

Пусть случайная величина X принимает x₁, x₂, x₃, …, x_n с вероятностями p₁, p₂, p₃ ,…, p_n, соответственно, а Y-значения y₁, y₂, y₃, …, y_m, с вероятностями q₁, q₂, q₃, …, q_m.

а) Суммой случайных величин X и Y называется новая случайная величина Z=X+Y, которая принимает все значения  вида z_ij=x_i+y_j(i=1,2,..n; j=1,2,...,m) с вероятностями p_ij, причем p_ij=P(X=x_i;Y=y_j)=P(X=x_i)*P_X=xi(Y=y_j).

Если случайные величины X и Y независимые, то p_ij= p_i+ q_j.

Аналогично определяется разность и произведение случайных величин.

б) Разностью ( произведением) случайных величин X и Y называется новая случайная величина Z=X-Y (Z=XY), которая принимает все значения вида z_ij=x_i-y_j   (z_ij=x_iy_j) с такими же вероятностями, с какими случайная величина Z=X+Y принимает соответствующие значения, т.е. p_ij= p_i+ q_j.

в) Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется новая случайная величина Z=kX, которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные произведениям значений случайной величины Х на k, т.е. =x_i².

г) Квадратом случайной величины Х, т.е. Х², называется новая случайная величина Z=X², которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные квадратам значений случайной величины Х, т.е. z_i=x_i²

24 Математическое ожидание. Свойства

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, это распределение вероятностей случайной величины рассматривается в теории вероятностей^[1]. В англоязычной литературе обозначается через  ^[2]  в русской —   (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение  .

Пусть задано вероятностное пространство   и определённая на нём случайная величина  . То есть, по определению,   — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от   по пространству  , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается   или  .

25. Дисперсия. Свойство.

Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. В статистическом понимании Д.

есть среднее арифметическое из квадратов отклонений величин x_i от их среднего арифметического

В теории вероятностей Д. случайной величины Х называется математическое ожидание Е (Х — m_х)²квадрата отклонения Х от её математического ожидания m_х= Е (Х). Д. случайной величины Хобозначается через D (X) или через s²_X. Квадратный корень из Д. (т. е. s, если Д. есть s²) называется средним квадратичным отклонением (см. Квадратичное отклонение).

Для случайной величины Х с непрерывным распределением вероятностей, характеризуемымплотностью вероятности р (х), Д. вычисляется по формуле

где