6. Противоположные события

Событие называется противоположным к событию, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит . Другими словами, противоположное событие состоит из тех элементарных исходов множества , при которых событие не происходит.

6. Диаграммы Эйлера Венна.

Диаграмма Венна — схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких (часто — трёх) множеств. Если пересечения позволяется указывать не все, получается более общий случай — круги Эйлера.

Диаграммы Эйлера — Венна (как их ещё называют) изображают все   комбинаций   свойств, то есть конечную булеву алгебру. При   диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

12 Классический способ подсчета вероятностей

. При классическом способе подсчета вероятность события А вычисляется по формуле ,  где все элементарные исходы равновозможны (т.е. ни один из них не является более возможным, чем другой),несовместны и единственно возможны; n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания; m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события ^ А.  2. Для подсчета m и n , а также для других целей, часто приходится использовать комбинаторные понятия и формулы. Пусть имеется n различных объектов (элементов).

13. Геометрические вероятности.

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

14 Теоремы сложения и умножения вероятностей

 Вероятность суммы конечного числа несовместных событий   равна сумме вероятностей этих событий

 Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B). 

16 Определение условной вероятности

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Пусть   — фиксированное вероятностное пространство. Пусть   два случайных события, причём  . Тогда условной вероятностью события   при условии события   называется

.

17. Формулы полной вероятности и гипотез.

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Пусть дано вероятностное пространство  , и полная группа попарно несовместных событий  , таких что

1. 

2. 

3. 

Пусть   — интересующее нас событие. Тогда

17. Независимые испытания.

независимые испытания с двумя исходами каждое ( успехом и неудачей ) и такие, что вероятности исходов не изменяются от испытания к испытанию

или в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других.

Pn(k)=Ckn⋅pk⋅qn−k,q=1−p.

20. Формула Пуассона.

Формула Пуассона

Если в каждом испытании вероятность p наступления события A постоянна и мала, а число испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что событие A наступит m раз, приближенно равна

,                                        

где λ=np.

Применение в подобных случаях локальной теоремы Лапласа приводит к неточным значениям вероятностей P_m,n.

Для упрощения расчетов при применении формулы Пуассона необходимо пользоваться таблицей значений функций Пуассона:  , которая приводится во всех учебниках(приложениях). Функция Пуассона – функция двух переменных: m и λ=np.