5.5 Вычисление вероятностей простых и сложных событий
Вероятность события
В повседневной жизни в разговоре часто используется слово "вероятный". Например, " завтра, вероятно, пойдет дождь", "вероятнее всего команда выиграет матч" и т.д. При употреблении этого слова интуитивно оценивают возможность того или иного события. При такой оценке помогает здравый смысл и жизненный опыт. Но встречаются события, сравнить или оценить возможность наступления которых, основываясь на чисто интуитивных соображениях, трудно. Например, события - герб появился три раза при пятикратном бросании монеты, или появилась цифра. У монеты две стороны, появление герба и цифры - равновозможные события. Поэтому заранее с большей уверенностью сказать какое же событие вероятнее трудно. Поэтому необходима некоторая оценка события. Такой оценкой является вероятность.
Определение: Вероятность события - это численная мера объективной возможности его появления.
Таким образом, каждому событию в соответствие ставится число - его вероятность. Пусть имеется, полня группа событий попарно несовместных и равновозможных. Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов (элементарных событий), благоприятствующих наступлению события А к общему числу исходов испытания. Если N общее число исходов испытания, а М число благоприятствующих исходов, то вероятность события А равна
(15)
Эта формула называется классической формулой вероятности.
Примеры:
Пример1. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8?
Подсчитаем сначала общее количество исходов: каждый из двух кубиков может упасть любой из шести граней. Бросание кубиков осуществляем последовательно, тогда по правилу умножения всего возможных исходов 36. Перечислим благоприятствующие нашему событию исходы. Составим таблицу 5:
Таблица 5. Благоприятствующие событию исходы
Число очков на 1-ом кубике |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Число очков на 2-ом кубике |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
Сумма очков |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
Всего благоприятствующих исходов пять. По классической формуле получаем, что вероятность события равна Р=5/36 ~ 0,14.
Пример 2. В урне 7 белых и 5 черных шаров. Наудачу вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что: а) все шары белые; б) два черных и один белый.
Общее количество исходов это количество сочетаний из 7+5=12 по 3:
Количество благоприятствующих исходов для события -все шары белые- это число сочетаний из 7 по 3:
Тогда вероятность этого события равна Р=35/220 ~ 0,16.
Количество благоприятствующих исходов для события - два черных и один белый: первое действие - выбор черных шаров, можно выполнить С72 способами, второе действие - выбор одного черного шара можно выполнить 5 способами. По правилу умножения количество благоприятствующих исходов равно
Тогда вероятность этого события рвана Р=105/220 ~ 0,48.
Рассмотрим свойства вероятности:
1. Вероятность достоверного события равна 1. Действительно, если событие достоверное, то любой исход является благоприятствующим , тогда N=M, а значит Р=1.
2. Вероятность невозможного события равна 0 . Действительно, любой исход не будет благоприятствующим, т.е. М=0, тогда Р=0/N=0.
3. Вероятность события А удовлетворяет неравенству
Достоинством классического определения вероятности является возможность вычислить вероятность события непосредственно, т.е. не прибегая к опытам, их заменяют логическими рассуждениями.