5.3 События и их виды. Операции над событиями

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события).

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.

К понятию «вероятность» существует несколько подходов.

Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Рассмотрим множество W всех возможных исходов опыта; каждый его элемент будем называть элементарным событием, а множество Ω – пространством элементарных событий. Любое событие A в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества Ω: .

Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.

Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.

Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит.

События A_k (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

При преобразовании выражений можно пользоваться следующими тождествами:

.

  Примеры:

1. Пусть испытание - бросание кубика. Событие А - выпадение четного количества очков, В - нечетного, С - выпадение очков менее 4-х. Тогда событие А+В- выпадение четного или нечетного количества очков, т.к. эти события несовместны; событие C+В(совместные события)- выпадение нечетных очков или выпадение очков менее 4-х, или одновременное наступление событий C и В - выпадение 3-х или одного очка.

2. Испытание - бросание кубика. События: А - выпадение четного количества очков, В - выпадение очков, кратных трем. Тогда событие АВ - выпадение шести очков.

Используя операции сложения и умножения событий можно сложное событие разложить на более простые и наоборот.

3. Пусть некоторый прибор состоит из трех независимо работающих элементов. Испытание -работа элементов прибора в течении некоторого отрезка времени. Обозначим события: А₁- поломка первого элемента в течение указанного времени, А₂- поломка второго, А₃- поломка третьего. Рассмотрим противоположные им события : _{А1, А2, А3} - бесперебойная работа соответственно первого, второго и третьего элементов. Записать с помощью операций событие: а) только второй элемент выйдет из стоя за время работы; б) только один элемент выйдет из строя; в) какие-либо два элемента выйдут из строя; г) все элементы выйдут из строя; д) ни один элемент не выйдет из строя; е) хотя бы один элемент выйдет из строя.

Решение: а) Это событие означает совместное наступление трех событий: _А1 -бесперебойная работа первого элемента и А₂ -поломка второго и - _А3 работа третьего. Этому событию соответствует выражение - _{А1А2 А3}

б) Это событие означает поломку или первого, или второго , или третьего. Поломка первого-_{А1А2 А3} ; поломка второго-_{А1А2 А3} ; поломка третьего- _{А1А2 А3} Событие- только один элемент выйдет из строя- это сумма описанных событий, являющихся несовместными, ему соответствует выражение

_{А1А2 А3+А1А2 А3+А1А2 А3.}

в) Это событие можно представить как сумму несовместных событий : произошла поломка первого и второго, а третий - работает _{А1А2 А3} ; поломка первого и третьего и работа второго _{А1А2 А3} ; поломка второго и третьего и работа первого _{А1А2 А3} . Искомое событие - _{А1А2 А3+ А1А2 А3+А1А2 А3.}

г) Это совместное наступление событий - поломка первого и второго и третьего, а значит их произведение : А₁А₂А₃;

д) Это совместное наступление событий - работа первого и второго и третьего, а значит их произведение           _{А1А2 А3.}

е) Это событие означает поломку или одного, или двух, или всех трех элементов. Этому событию соответствует выражение: А₁+А₂+А₃ или _{А1А2 А3+ А1А2 А3+А1А2 А3+ А1А2 А3+ А1А2 А3+А1А2 А3+}А₁А₂А₃. Но это событие является противоположным событию - ни один элемент не выйдет из строя, тогда его можно записать в виде: