5. (Диаграммы Эйлера - Венна)

Рисунок 10 -

Рисунок 11 -

А

В

Рисунок 12 -

U

А

Рисунок 13 -

Декартово произведение (прямое) множеств А₁,А₂,…А_п назыв. множество А₁×А₂×…А_п, состоящее из всех кортежей длины к.

Например, декартовым произведением множеств А= и В= будет являться множество пар А×В =

Раздел 5. Основы теории вероятностей и математической статистики

5.1 Элементы комбинаторики: размещения, перестановки,

сочетания

Основная задача комбинаторики – пересчет и перечисление элементов в конечных множествах.

Если нас интересует, сколько элементов принадлежащих данному конечному множеству обладают некоторым свойством, то это задача пересчета.

Если необходимо выделить все элементы множества, об­ладающие заданными свойствами, то это задача перечисления.

Рассмотрим следующие элементы комбинаторики, позволяющие решать вышеупомянутые задачи. К таким объектам относятся:

1. перестановки (с повторением и без них);

2. размещения (с повторением и без них);

3. сочетания (с повторением и без них);

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается

(без повторений) (9)

Перестановки с повторениями вычисляются по формуле:

(10)

где - число повторений элементов каждого вида.

Пример 39. Определим, сколько различных слов можно составить из слова «литература».

В слове «литература» п₁=1 буква «л», п₂=1 буква «и», п₃=2 буквы «т», п₄=1 буква «е», п₅=2 буквы «р», п₆=2 буквы «а», п₇=1 буква «у».

Тогда из слова «литература» можно составить Р(п₁,п₂,п₃,п₄,п₅,п₆,п₇)= различных слов.

Сочетанием называются такие комбинации элементов, которые отличаются между собой в каждой группе только самими элементами (но не порядком их расположения в группе).

(без повторения) (11)

(с повторением) (12)

Пример 40. В почтовом отделении продаются открытки п=5 видов. Определим число способов покупки т=7 открыток.

Число способов покупки открыток равно числу сочетаний с повторениями из п=5 элементов по т=7 элементов и равно .

Размещением называются такие комбинации элементов, которые отличаются между собой или самими элементами или порядком их расположения в группе.

(без повторения) (13)

(с повторением) (14)

Пример 41. Определим, сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 3,5,6,7,8.

Составление четырехзначных чисел из пяти цифр – размещение из п=5 элементов по т=4 элемента с повторениями. Тогда всего можно составить чисел.