Раздел 3. Основы интегрального исчисления
3.1 Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его
свойства. Основные табличные интегралы. Интегрирование функций
Определение:
Функция
называется
первообразной
для функции
на
промежутке
,
если в любой точке этого промежутка её
производная равна
:
Отыскание первообразной функции по заданной её производной или по дифференциалу есть действие, обратное дифференцированию – интегрирование.
Пример:
Дана функция
.
Её первообразная
,
т.к.
.
Очевидно, что первообразными будут
также любые функции
,
т.к.
и
.
Совокупность всех
первообразных для функции
или для дифференциала
называется неопределенным
интегралом
и обозначается:
,
(4)
где
-
подынтегральная функция;
-
подынтегральное выражение;
-
произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла:
Постоянный множитель выносится за знак интеграла:
.
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций
.
Для вычисления интегралов используют таблицу интегрирования элементарных функций
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Непосредственное интегрирование
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки)
Найти неопределенные интегралы.
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Формула интегрирования
по частям имеет вид:
3.2 Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Вычисление определенных интегралов
Рисунок 4 - Функция y=f(x), графиком которой является произвольная кривая
Рассмотрим функцию
y=f(x),
графиком которой является произвольная
кривая (рис.3 ). Она определена и непрерывна
на
.
Разобьем
на n
одинаковых отрезков. Фигуру АВСД назовем
криволинейной трапецией. При указанном
построении трапеция разбилась на
несколько фигур, называемых также
криволинейными трапециями. Представим
их прямоугольниками: возьмем i-
отрезок, тогда длина данного прямоугольника
.
Выберем произвольную точку
и вычислим значение функции
- ширина прямоугольника. Для вычисления
площади прямоугольника нужно найти
произведение его длины на ширину:
.
Тогда площадь все прямоугольников
криволинейной трапеции равна:
- интегральная сумма.
Определение:
Если предел
существует и не зависит от выбора точек
,
то функция f(x)
называется интегрируемой на
,
а такой предел называется определенным
интегралом от функции f(x)
на
и обозначается:
- определенный
интеграл,
где a
и b
– нижний и верхний пределы интегрирования
соответственно.
Основные свойства определенного интеграла.
Интеграл не зависит от обозначения переменной:
Примеры:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
