2.2 Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Признаки возрастания и убывания функции

Теорема. Если производная функции y=f(x) в данном промежутке значений x положительна, то функция возрастает в этом промежутке, а если отрицательна, то функция убывает.

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает,- промежутками монотонности.

Максимум и минимум функции

Значения аргумента, при которых значения функции являются наибольшими или наименьшими, называются соответственно точками максимума или минимума функции, а значение функции при этих значениях аргумента – максимумом или минимумом (или экстремумами) ее.

Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то функция имеет в точке экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция в точке не имеет экстремума.

Наименьшее и наибольшее значения функции

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

1) найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

2)найти значения функции на концах промежутка;

3)сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.

Выпуклость и вогнутость кривой и точки перегиба

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке > 0, то кривая выпукла вниз (или вогнута) в этом промежутке; если же < 0, то кривая выпукла вверх (или выпукла) в этом промежутке.

Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки, принадлежащие области определения функции y=f(x), в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то график функции имеет точку перегиба ( ).

Примеры:

1) Найти промежутки монотонности функции f(x)=x²-8x+12

Решение. Находим производную: ; имеем

2x-8=0

x=4

Последующие рассуждения представим в таблице 2.

Таблица 2- Нахождение промежутков монотонности

x	-∞<x<4	4	4<x<∞
f´(x)	_	0	+
f(x)	↘		↗

Таким образом, данная функция в промежутке -∞<x<4 убывает, а в промежутке 4<x<∞ возрастает.

2) Исследовать на экстремум функцию f(x)=-x²+5x+6

Решение. Находим производную:

-2x+5=0

x=2,5

Составим таблицу 3.

Таблица 3 - Нахождение экстремумов функции

x	-∞<x<2,5	2,5	2,5<x<∞
f´(x)	+	0	-
f(x)	↗	Fmax=f(2,5)=0,25	↘

Графиком функции f(x)=-x²+5x+6 служит парабола, изображенная на рис. 2.

y

A (2,5;0,25)

0 x

Рисунок 2 - График функции f(x)=-x²+5x+6

3) Найти наименьшее и наибольшее значения функции f(x)=x²-4x+3 в промежутке 0≤ х≤3

Решение.

f ′(x)=2x-4

2x-4=0

x=2 – критическая точка. Находим f(2)=-1;далее вычисляем значения функции на концах промежутка: f(0)=3, f(3)=0.

Итак, наименьшее значение функции равно -1 и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка (рис.3).

Рисунок 3 - График функции f(x)=x²-4x+3

4) Найти промежутки выпуклости кривой f(x)=x⁴-2x³+6x-4.

Решение. Находим

f ′(x)=4x³-6x²+6

f ′′(x)=12x²-12x=12x(x-1). Очевидно, что в промежутках -∞<х<0 и 1<х<∞ выполняется неравенство f ′′(x)>0,т.е. в этих промежутках кривая выпукла вниз, а в промежутке 0<х<1 имеет место неравенство f ′′(x)<0, т.е. в этом промежутке кривая выпукла вверх.

5) Найти точки перегиба кривой f(x)=6х²-х³

Решение. Находим

f ′(x)=12х-3х²

f ′′(x)=12-6х.

Полагая, что f ′′(x)=0, получим единственную критическую точку х=2.Так как в промежутке -∞<х<2 имеем f ′′(x)>0, а в промежутке 2<х<∞ имеем f ′′(x)<0, то при х=2 кривая имеет точку перегиба. Найдем ординату этой точки: f(2)=16. Итак, (2;16) – точка перегиба.