Свойства логарифмов:

1°      - основное логарифмическое тождество.

2°    

3°    

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4°      - логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5°      - логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6°      - логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°    

8°    

9°      - переход к новому основанию.

15)Действительное число - (вещественное число) , любое положительное, отрицательное число или нуль. Посредством действительных чисел выражаются результаты измерения всех физических величин. ; 

16)Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла (устар. мнимые числа^[2]) — числа вида  , где   и   — вещественные числа,   — мнимая единица; то есть  . Множество всех комплексных чисел обычно обозначается   от лат. complex — тесно связанный.

10.1.1 Алгебраическая форма комплексных чисел

         Пусть x и y – обычные числа. Число вида

z=x+iy

называется комплексным числом в алгебраической форме.

         x называют вещественной или действительной частью числа z и обозначают так:  ; y называют мнимой частью числа z и обозначают так:  . Число   называют комплексно сопряженным числу z. Действует следующее общее правило: «чтобы получить число, комплексно сопряженное данному, надо в нем заменить i на –i ».

         Рассмотрим операции над комплексными числами в алгебраической форме. Пусть даны два комплексных числа   и  .

17)Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

(17.10)

которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число   в тригонометрической форме имеет вид   . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь   ,   .

Пусть   . Положим   ,   . Из рисунка 17.4 очевидно, что

Тогда   . Это выражение запишем в виде

(17.8)

Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде   называют иногда алгебраической формойкомплексного числа.

Отметим, что тригонометрическая форма -- это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Поэтому вместо формулы (17.8) можно было бы просто записывать пару   , но запись (17.8) принята в силу традиции.

18)Сравнение

 означает, что   и   (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

• Вычитание

• Умножение

• Деление

• В частности,

19)На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.

• В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

• Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

• Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

• Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.

• Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

• Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:

  1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;

  2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.

• Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

20)Теорема 15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.  21)Теорема 15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.  Следствие: Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.  22)Теорема 15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. 

23)Теорема 16.1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.  24)Теорема 16.2.Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.  25)Теорема 16.3.Если прямая, не принадлежащая плоскости параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.  26)Теорема 16.4.Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.  27)Теорема 16.5. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.