Розв’язок. , оскільки х – фіксовані (припущення 2), за припущенням 3. Оцінювання. Важливо, щоб у рівнянні щодо y були вказані саме параметри генеральної сукупності (), а не їхні оцінки (b).

Варіант 3. (50 балів)

1. Перерахуйте припущення МНК. Оберіть одне з припущень та поясніть, що відбувається з оцінками МНК, якщо це припущення порушується.

2. Опитано 18 студентів та оцінено залежність балу, отриманого ними за іспит, від кількості годин, витрачених на підготовку до іспиту, та відсотка пропущених ними занять. Результати оцінки наведені у таблиці.

Dependent Variable: Ln(GRADE)
Method: Least Squares
Included observations: 18
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	6.343905	0.017420	364.1793	0.0000
HOURS_PREPARE	0.002793	0.000721	3.874980	0.0015
MISSED_LECTURES	-0.000279	0.000274	-1.015060	0.3262
R-squared	0.703133	Mean dependent var		6.391111
Adjusted R-squared	0.663551	S.D. dependent var		0.033182
S.E. of regression	0.019247	Akaike info criterion		-4.911887
Sum squared resid	0.005557	Schwarz criterion		-4.763491
Log likelihood	47.20698	F-statistic		17.76387
Durbin-Watson stat	1.151421	Prob(F-statistic)		0.000111

а) запишіть оцінене рівняння регресії у явному вигляді та докладно проінтерпретуйте його коефіцієнти.

б) чи значущі коефіцієнти моделі? Відповідь поясніть.

в) знайдіть еластичність балу, отриманого на іспиті, за часом, витраченим на підготовку до нього.

г) заповніть ANOVA-таблицю, якщо TSS = 0.0187:

Джерело варіації	Ступені вільності	Суми квадратів	Середні квадрати	F-статистика	R2
Регресія	2	0.0131	0.00655	17.76	0.70
Помилки	15	0.0056	0.00037
Загальна	17	0.0187	-

ґ) знайдіть 99% інтервал довіри для коефіцієнта при змінній “час підготовки”.

д) протестуйте з 10% рівнем значущості гіпотезу про те, що коефіцієнт перетину дорівнює 7. Знайдіть p-value цього тесту.

е) сформулюйте гіпотезу F-тесту. Чи відхиляємо ми її у даному випадку? Відповідь поясніть.

є) що можна сказати про наявність автокореляції в моделі?

Розв’язок

а) Ln(GRADE) = 6.34 + 0.0028*HOURS_PREPARE – 0.00028*MISSED_LECTURES Інтерпретація: якщо студент не витратив на підготовку до іспиту жодної години, проте не пропустив жодної лекції, то всередньому він отримає е^6.34 балів. При цьому якщо студент збільшує час підготовки на 1 годину, то його оцінка збільшиться на е^0.0028 балів, а за кожне пропущене заняття очікувана оцінка на іспиті зменшуватиметься на е^0.00028 балів.

б) Перетин та коефіцієнт при змінній «час підготовки» є значущими, оскільки відповідні значення p-value малі, а коефіцієнт при змінній «пропущені лекції» є не значимим, оскільки p-value дорівнює 33% і більший за будь-який прийнятний рівень значущості.

в) (залежить від Н_Р)

г) див. таблицю

ґ)

д) => відхиляємо гіпотезу

е) . Відхиляємо, оскільки F- статистика велика, а її p-value мале.

є) критичні значення статистики Дарбіна-Вотсона (при  = 5%) d_L = 1.05, d_U = 1.54. Відповідно, 4 - d_U = 2.46, 4 - d_L = 2.95. Отже, тестова статистика (1.15) потрапляє між d_L та d_U, що означає невизначеність стосовно кореляції помилок.

3. Залежність попиту на певний товар (Q) від доходу домогосподарства (I) описано наступним рівнянням (оцінено МНК, усі коефіцієнти значущі):

Q = 0.02 + 0.05*I – 0.02*I².

Як би ви пояснили людині, що не має жодного уявлення про економетрику, зв’язок між I та Q? Який це може бути товар?

Розв’язок. Зі зростанням доходу попит на товар зростає, проте, коли дохід стає дуже великим, попит починає знижуватись. Це може бути будь-який споживчий товар (наприклад, м’ясо), але не товар розкошу.

4. Доведіть, що якщо справджуються припущення МНК, то .

. Тут ніякі припущення МНК не використовуються.