Оцінювання.

а) 4 бали: 1 бал – за правильно написане рівняння. 1 бал – за правильну інтерпретацію перетину. 2 бали – якщо правильно вказана розмірність і незалежної, і залежної змінної (% та тис. тонн на місяць) при інтерпретації нахилу.

б) 2 бали – якщо правильна і відповідь, і пояснення (воно може відрізнятися від поданого).

в) 2 бали за правильну відповідь

г) 5 балів: по одному – за правильно знайдені ступені вільності помилок та регресії, 1 – за правильну суму квадратів регресії, 1 – за правильні середні квадрати, 1 – за правильний коефіцієнт кореляції (з правильним знаком!)

ґ) 3 бали: 1 – за правильно вказані ступені вільності (19), 1 – за правильну імовірність (0.05), 1 – за правильне середньоквадратичне відхилення (0.1485).

д) 5 балів: 1 – за правильно знайдене розрахункове значення, 1 – за критичне, 1 – за висновок (не відхиляємо). 2 бали – за p-value (якщо вона хоча б правильно намальована на графіку – з правого боку розподілу).

е) 3 бали: 1 – за правильне формулювання гіпотези, 2 – за пояснення (воно може бути іншим).

є) 3 бали: 2 – за правильне знаходження усіх 4-х критичних значень, 1 – за висновок про присутність автокореляції та її знак.

3 (8 балів). Прокоментуйте наступне твердження. “Якщо оцінити регресію врожаю пшениці на гектар (Y) на кількість використаного добрива (X) за допомогою даних про кількість добрива, що зазвичай використовується селянами, нахил регресійної прямої буде, безумовно, додатним. Однак відомо, що при використанні дуже великої кількості добрива врожай буде дуже низьким. Тому регресійні рівняння не надто корисні для прогнозування.”

Розв’язок. Вочевидь, зв’язок між кількістю добрив та врожаєм є нелінійним (парабола, опукла вгору), і ми оцінили лише частину (зростаючу) цієї функції. Тому, якщо ми братимемо кількість добрива, що зазвичай використовується селянами, ми отримаємо правильний прогноз урожаю (з певною похибкою). Проте, про поведінку функції при великих Х нам нічого не відомо, тому ми не можемо робити прогнози у цьому діапазоні.

Оцінювання. 3 бали – якщо вказано на нелінійність зв’язку, 3 – якщо сказано, що оцінено лише частину зв’язку, що існує у генеральній сукупності, 2 – за решту слушних думок і загальну логічність викладу.

4 (7 Балів). Доведіть, що якщо справджуються припущення мнк, то .

Розв’язок.

, оскільки Е(е) = 0 та Е(Хе) = 0 за припущеннями МНК (припущення 1 та 2).

Оцінювання. 4 бали – за саме доведення (воно має бути достатньо докладним, може відрізнятися від наведеного), ще 3 – якщо вказано, які припущення МНК використовуються при доведенні. Доведення має бути логічним – від початку до висновку. Іноді зустрічаються “замкнені” доведення на кшталт Y = X тому, що Y = X. Такі доведення неправильні.

Примітка. За арифметичні помилки, якщо загалом хід розв’язку правильний, бали можна не знімати. До арифметичних помилок не відноситься неправильне знаходження критичних значень у таблиці (навіть якщо ступені вільності та імовірність вказані правильно, але критичне значення неправильне – це помилка). Розв’язки наступних варіантів наведено лише в тій частині, у якій вони відрізняються від розв’язків до 1 варіанту. Принципи оцінювання – такі самі.

Варіант 2. (50 балів)

1. Перерахуйте припущення МНК. Оберіть одне з припущень та поясніть, що відбувається з оцінками МНК, якщо це припущення порушується.

2. На основі вибірки з 25 підприємств однієї галузі оцінено залежність їхнього поточного прибутку (тис. гривень) від інвестицій у нові технології (тис. гривень), здійснених минулого року, та цін на основну сировину (гривень за тонну). Результат оцінки представлений у таблиці.

Dependent Variable: PROFIT
Method: Least Squares
Included observations: 25
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-18.39743	12.52887	-1.468404	0.1561
INVESTMENT	0.321318	0.029940	10.73189	0.0000
PRICE	0.004430	0.016449	0.269339	0.7902
R-squared	0.914863	Mean dependent var		21.70800
Adjusted R-squared	0.907124	S.D. dependent var		3.328403
S.E. of regression	1.014352	Akaike info criterion		2.978543
Sum squared resid	22.63600	Schwarz criterion		3.124808
Log likelihood	-34.23178	F-statistic		118.2040
Durbin-Watson stat	1.014599	Prob(F-statistic)		0.000000

а) запишіть оцінене рівняння регресії у явному вигляді та докладно проінтерпретуйте його коефіцієнти.

б) чи значущі коефіцієнти моделі? Відповідь поясніть.

в) знайдіть еластичність прибутку за інвестиціями.

г) заповніть ANOVA-таблицю, якщо TSS = 265.88:

Джерело варіації	Ступені вільності	Суми квадратів	Середні квадрати	F-статистика	R2
Регресія	2	243.24	121.62	118.2	0.91
Помилки	22	22.64	1.03
Загальна	24	265.88	-

ґ) знайдіть 95% інтервал довіри для коефіцієнта при змінній “інвестиції”.

д) протестуйте з 10% рівнем значущості гіпотезу про те, що коефіцієнт перетину більший за -15. Знайдіть p-value цього тесту.

е) сформулюйте гіпотезу F-тесту. Чи відхиляємо ми її у даному випадку? Відповідь поясніть.

є) що можна сказати про наявність автокореляції в моделі?

Розв’язок.

а) PROFIT = -18.4 + 0.32INVESTMENT + 0.004PRICE. За нульових інвестицій та ціни на сировину (нереальна ситуація) прибуток = -18.4 тис. грн. При зростанні інвестицій на 1 тис. грн., прибуток зростає на 0.32 тис. грн. При зростанні ціни на 1 грн./тонну, прибуток зростає на 0.004 тис. грн.

б) коефіцієнт при інвестиціях – так, перетин і коефіцієнт при ціні – ні (пояснення див. 1 варіант).

в)

г) див. таблицю

ґ)

д) не відхиляємо гіпотезу.

(цього значення в таблиці немає, тому правильною вважається відповідь більше за 0.25). p-value знаходиться з лівого боку розподілу – це імовірність від - до – 0.27.

е) . Відхиляємо.

є) критичні значення статистики Дарбіна-Вотсона (при  = 5%) d_L = 1.21, d_U = 1.55. Отже, тестова статистика (1.01) потрапляє між 0 та d_L, що означає додатну автокореляцію помилок.

Оцінювання.

г) по одному балу – за правильно знайдені ступені вільності (помилок, регресії та загальну), ще по одному – за суми квадратів та середні квадрати. Те саме стосується 3 і 4 варіантів.

3. Відомо, що коефіцієнт кореляції між змінними Х та Y дорівнює 0. Що можна сказати про зв’язок між цими двома змінними? Яким чином можна дізнатися більше про зв’язок між ними?

Розв’язок. Можливо, зв’язок відсутній, а можливо – нелінійний. Потрібно побудувати корелограму Х та Y або дослідити коефіцієнти кореляції між перетвореними змінними – наприклад, Y та Х² , Y та ln(Х) тощо, або між змінами Х та Y (Х та Y).

Оцінювання.

4 бали – якщо вказано, що може бути нелінійний зв’язок, ще 4 – за хоча б один способ виявити цей зв’язок.

4. Доведіть, що якщо справджуються припущення МНК, то .