II. Метод «наименьшей стоимости»

Суть метода заключается в том, что каждый раз заполняется клетка с наименьшей издержкой .

В таблице выбирается клетка с наименьшей издержкой . Если в этой клетке, то и потребности потребителя удовлетворены полностью, т.е. все остальные клетки j-го столбца вычеркиваются.

Если то и ресурсы поставщика полностью израсходованы, т.е. все остальные клетки i-ой строки вычеркиваются.

Далее в таблице опять выбирается свободная и не вычеркнутая клетка с наименьшей издержкой . Она аналогично заполняется, но теперь еще с учетом системы ограничений задачи (т.е. сумма по строкам должна быть равна , сумма по столбцам − ).

Заполненных клеток должно быть . Если их меньше, то одновременно на некотором шаге были удовлетворены и поставщик и потребитель , и одновременно были вычеркнуты и i-ая строка и j-ый столбец. В этом случае дается нулевая (фиктивная) поставка в произвольную, но не вычеркнутую клетку соответствующего столбца или соответствующей строки, которые должны быть вычеркнутыми на этом шаге.

Пример 2.

	50	40	60	70
60	3	1 40	4 20	2 0
70	5	2	3	1 70
90	2 50	4	5 40	3

Опорный план:

Заполненных клеток оказалось 5: исходное решение вырожденное, т.е. мы должны были дать фиктивную поставку, когда заполняли клетку и были вычеркнуты одновременно и строка и столбец.

Стоимость перевозок при этом плане:

Это меньше, чем по методу «северо-западного угла» ( ).

Критерий оптимальности. Метод потенциалов

Для того чтобы допустимое решение было оптимальным необходимо и достаточно, чтобы существовала совокупность действительных чисел , которые удовлетворяли бы условиям:

для заполненных клеток

для свободных (вычеркнутых) клеток.

Числа называются потенциалами.

Оценить опорное решение с помощью потенциалов можно следующим образом: первоначально одному из потенциалов или дается значение 0. Затем находятся остальные потенциалы из равенств (по заполненным базисным клеткам).

Оценки свободных клеток вычисляются по формуле:

Если все , то задача решена и исходное опорное решение оптимальное. Если есть хотя бы одна отрицательная оценка, то решение можно улучшить, перейдя к другому опорному решению. Новое опорное решение нужно вновь оценить с помощью потенциалов.

Пример 3 (по методу «северо-западного угла»).

	50	40	60	70
60	3 50	1 10	4	2	3
70	5	2 30	3 40	1	4
90	2	4	5 20	3 70	6
	0	−2	−1	−3

Матрица оценок для данного решения имеет вид

.

Так как , то решение не оптимально. При переходе к другому опорному решению необходимо выполнить однократное замещение одной из базисных переменных на свободную переменную.

Нас не устраивает оценка клетки , поэтому введем в базис свободную переменную . Соответственно при этом клетка должна быть заполненной. Пусть поставка в ней будет . Тогда нарушается баланс в третьей строке и первом столбце. Восстановить его можно, уменьшив поставки и (поставку не затрагиваем, так как нарушенный баланс в четвертой строке восстановить не удастся). Получим новые поставки и . Далее нарушается баланс в первой строке и третьем столбце. Для его восстановления изменяем на единиц поставки в клетках и , а именно . Аналогично нарушается баланс во второй строке и во втором столбце, который может быть восстановлен путем изменения поставки . Таким образом, добавляя поставку к клеткам , получим другое решение задачи:

.

В таблице или отдельно вычерчивается контур, по которому распределяются поставки . Полученный контур является замкнутым многоугольником у которого:

1) все углы прямые;

2) четное число вершин;

3) в вершинах расположены заполненные клетки, кроме одной, которую решили заполнить числом ;

4) при движении по контуру вершины, в которых добавляется и вычитается поставка , чередуются.

В качестве поставки выбирается минимум среди поставок, из которых E вычиталось. В нашем случае . Тогда мы получим новое опорное решение, которое вновь оценим

На следующем шаге будем иметь

	50	40	60	70
60	3 20−E	1 40	4	2 +E	3
70	5	2	3 60	1 10	0
90	2 30+E	4	5	3 60−E	2
	0	−2	3	1

В итоге получим

	50	40	60	70
60	3	1 40	4	2 20	3
70	5	2	3 60	1 10	0
90	2 50	4	5	3 40	2
	0	−2	3	1

Критерий оптимальности выполнен: .

Следовательно, минимальная стоимость перевозок будет