Особые случаи решения задачи линейного программирования симплекс-методом

1. Отсутствие конечного оптимума.

Если на каком-либо шаге получаем, что во всех уравнениях системы бесконечные оценочные отношения той переменной, которая переводится в базис, то задача не имеет конечного оптимума, т.е. (или ).

2. Неединственность оптимального решения (альтернативный оптимум).

Если в последнем выражении для целевой функции отсутствует свободная переменная (формально она входит с нулевым коэффициентом), то изменение этой переменной не повлечет за собой изменение целевой функции. Мы получим альтернативный оптимум. Множество всех оптимальных решений имеет вид

3. Вырожденное базисное решение.

Если на каком-либо шаге наибольшее возможное значение переменной достигается в нескольких уравнениях одновременно (совпадают их оценочные отношениянаибольшее возможное значение переменной достигается в нескольких уравнениях одновременно ()ой переменной, которая переводится ), то разрешающим является любое из них. На следующем шаге получаем вырожденное базисное решение, переход к очередному базисному решению может не изменить целевую функцию.

Пример 1. Решив (самостоятельно) графическим и симплекс-методом задачи.

Таблица 3.

1.	2.

получим в задаче №1 отсутствие конечного оптимума , в задаче №2 альтернативный оптимум , который достигается во всех точках отрезка , т.е. в точках , где ,

Пример 2. Предприятие располагает тремя производственными ресурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство продукции двумя различными способами. Расход ресурсов за один месяц и общий ресурс при каждом способе производства даны в таблице (в усл. ед.).

Таблица 4.

Производственные ресурсы	Расход ресурсов за 1 месяц при работе		Общий ресурс
	1-м способом	2-м способом
Сырье	1	2	4
Оборудование	1	1	3
Электроэнергия	2	1	8

При первом способе производства предприятие выпускает за один месяц 3 тыс. изделий, при втором – 4 тыс. изделий.

Сколько месяцев должно работать предприятие каждым из этих способов, чтобы при наличных ресурсах обеспечить максимальный выпуск продукции?

Решение.

Составим математическую модель задачи. Обозначим: – время работы предприятия первым способом, – время работы предприятия вторым способом.

Математическая модель имеет вид при ограничениях:

Приведем задачу к каноническому виду при ограничениях:

Составляем симплексную таблицу 1-го шага

Таблица А.

	БП	3	4	0	0	0
0		1		1	0	0	4
0		1	1	0	1	0	3
0		2	1	0	0	1	8
		-3	-4	0	0	0	0

Получим решение:

В индексной строке имеются две отрицательные оценки, значит, найденное решение не является оптимальным и его можно улучшить. В качестве ключевого столбца следует принять столбец базисной переменной , а за ключевую строку взять строку переменной , где .

Ключевым элементом является . Вводим столбец базисной переменной , выводим . Составляем симплексную таблицу 2-го шага. Получим

Таблица Б.

	БП	3	4	0	0	0
4		1/2	1	1/2	0	0	2
0			0		1	0	1
0		3/2	0		1	1	6
		-1	0	2	0	0	8

В индексной строке имеется одна отрицательная оценка. Полученное решение можно улучшить. Ключевым элементом является . Составляем симплексную таблицу 3-го шага.

Таблица В.

	БП	3	4	0	0	0
4		0	1	1	-1	0	1
3		1	0	-1	2	0	2
0		0	0	1	-3	1	3
		0	0	1	2	0	10

Все оценки свободных переменных , следовательно, найденное опорное решения является оптимальным:

Таким образом, по первому способу предприятие должно работать два месяца, по второму – один месяц, при этом максимальный выпуск продукции составит 10 тыс. ед.

Задача 1. Решить симплексным методом задачу об использовании ресурсов.

1. Приведём к каноническому виду. Для этого введём дополнительные неотрицательные переменные: Получим:

2. Заполняем симплексные таблицы

Таблица А.

Базис								Оценочные отношения
	18	1	3	1	0	0	0
	16	2	1	0	1	0	0
	5	0	1	0	0	1	0
	21	3	0	0	0	0	1	-
	0	-2	-3	0	0	0	0

Таблица Б.

Базис								Оценочные отношения
	3	1	0	1	0	-3	0
	11	2	0	0	1	-1	0
	5	0	1	0	0	1	0
	21	3	0	0	0	0	1
	15	-2	0	0	0	3	0

Таблица В.

Базис								Оценочные отношения
	3	1	0	1	0	-3	0	-1
	5	0	0	-2	1	5	0
	5	0	1	0	0	1	0
	12	0	0	-3	0	9	1
	21	0	0	2	0	-3	0	-7

Таблица В.

Базис								Оценочные отношения
	6	1	0			0	0
	1	0	0			1	0
	4	0	1			0	0
	3	0	0			0	1
	24	0	0			0	0

В оценочной строке нет отрицательных элементов, значит, выполнен критерий оптимальности:

.

Вывод. Предприятие получит максимальную прибыль в размере 24 у. д.е. , если будет выпускать 6 ед. продукции и 4 ед. продукции .

Дополнительные переменные показывают разницу между запасами ресурсов каждого вида и их потреблением, то есть остатки ресурсов. Таким образом, при оптимальном плане ресурсы и будут израсходованы полностью , ресурса останется 1 ед. , ресурса останется 3 ед. .