3. Постановка задачи об определении оптимального ассортимента.

Задача 3. Предприятие может производить два вида изделий А и В, располагая для их изготовления ограниченными ресурсами материала чугуна и стали соответственно в количествах 350 и 392 кг и оборудования в количестве 408 станко – часов. Данные, представленные в виде таблицы 3, характеризуют затраты каждого из перечисленных трёх видов ресурсов на изготовление одного изделия А и В.

Таблица 3.

Виды ресурсов	Объём ресурсов	Затраты на одно изделие
		А	В
Чугун	350	14	5
Сталь	392	14	8
Оборудование	408	6	12
Прибыль в рублях		10	5

Требуется определить сколько изделий А и В должно производить предприятие, чтобы достичь наибольшей прибыли.

Решение. Тогда математическую задачу можно сформулировать следующим образом. Среди множества неотрицательных решений системы неравенств:

Найти такое решение, для которого функция достигает наибольшего значения.

3. Приведение задачи линейного программирования к каноническому виду.

Умение

Алгоритм

Приведение задачи линейного программирования к каноническому виду.

1. Определить размерность задачи: значения и . 2. Определить соотношения, которые имеют ограничения в виде неравенств. 3. Ввести в - е ограничение дополнительную переменную со знаком « », если оно имеет ограничение « ». 4. Ввести в 1- е ограничение дополнительную переменную со знаком « - », если оно имеет ограничение « ». 5. Поменять во всех неравенствах знаки « » и « » на знак « = ». 6. Записать каноническую задачу.

Задача 4. Привести к каноническому виду задачу:

Решение

Здесь

§2. Геометрический метод решения задач линейного программирования

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двухмерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств.

Область допустимых решений задачи строится как пересечение областей решений каждого из заданных ограничений.

Областью решений линейного неравенства является одна из двух полуплоскостей, на которые прямая , соответствующая данному неравенству, делит всю координатную плоскость.

Для того чтобы определить, какая из двух координатных полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство. Если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая данную точку, если же неравенство не удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, не содержащая данную точку.

Областью допустимых решений задачи является общая часть полуплоскостей (областей решений всех неравенств системы ограничений) представляющая многогранник.

Теорема. Целевая функция задачи линейного программирования достигает своего экстремального значения в вершинах многогранника решений. Если целевая функция принимает экстремальное значение более чем в одной вершине, то она достигает того же значения в любой точке, лежащей на соединяющем их отрезке.

Задача. Построить область допустимых решений.

Решение. Решим неравенство . Построим прямую (границу полуплоскости) . Определим полуплоскость, являющуюся решением неравенства. Выберем точку, не лежащую на границе, например, и проверим, удовлетворяет ли она неравенству: верно. Значит, решением неравенства является полуплоскость, содержащая начало координат. Отметим это штриховкой или стрелкой. Для более компактного решения поступают так: строят границы; определяют полуплоскости.

Условие не отрицательности переменных показывает, что область допустимых решений расположена в первой четверти.

Область допустимых решений – шестиугольник OABCDЕ. Определим координаты вершин (угловых точек):

Вычислим значения целевой функции в угловых точках:

Сравнив значения целевой функции, выберем наибольшее значение: . Итак, если произвести 6 единиц продукции и 4 единицы продукции , то получим наибольшую прибыль, равную 24 р.

Ответ:

Рассмотренный метод называют перебором всех вершин.