37. Достатні умови існування екстремуму.

Достатня умова існування екстремуму: нехай М0(х0,у0) є критичною точкою функції z= f(x,y).

Якщо: 1) ∆(М0)=(АС-В^2) | М0 > 0 то дана точка є екстремальною. А| М0 > 0, то М0 – т. мін. А| М0 Б0, то М0 – т.мах.

2) ∆(М0)=(АС-В^2) | М0 < 0 то т. М0 не екстремальна. 3) ∆(М0)=0, потрібно провести додаткове дослідження.

38.Найбільше і найменше значення функції в замкненій області.

Плоска область Д називається замкненою якщо в неї входять як внутрішні точки так і точки межі області. z= f(x,y). Де функція може досягати найбільшого або найменшого значення в точках межі області Д. Схема знаходження найменшого та найбільшого значення функції: 1) Знаходимо критичні точки. 2) Серед к.т. залишаємо тільки ті, які належать області Д. 3) Приєднуємо до цих точок, точки межі області Д. 4) Обчислити значення функції у всіх точках з пункту 3. 5) Вибрати серед цих значень найменшу і найбільшу.

39. Др. Означення, загальний та частинний розв’язок др Іго порядку. Задача Коші.

Рівняння яке поєднує незалежну змінну, функцію від цієї змінної та її похідні називається ДР. З матем. точки зору др. Записується у вигляді: (1) . Порядок степеню похідної яка входить в др. Називається порядком др.. Розв’язком др. Називається така функція у=у(х), підстановкою якої р-ня (1) перетворюється у його правильну рівність або тотожність. Всяке др. Може мати безліч розв’язків. Розв’язок др. Може містити довільні сталі при чому кількість цих сталих рівна порядку р-ня. Др разом з початковими умовами називається Задача Коші.

; Р-ня Коші для другого порядку. (2) загальне р-ня Іго порядку.

В такому, загальному, вигляді др. Не розв’язуються. Якщо з р-ня (2) можна в явному вигляді виразити у то ми одержимо наступне р-ня вигляду: у= f(x,y). (3). Але навідь у такому вигляді др. Іго порядку не розв’язується. Якщо права частина р-ня (3) має спеціальний вигляд то в деяких випадках р-ня (3) розв’язується за допомогою конкретних випадків: 1) ДР з відокремленими змінними. 2) Однорідні ДР Іго порядку. 3) Лінійні ДР Іго порядку. 4) Рівняння Бернулі. 5) Р-ня повних диференціалів.

40. Др Іго порядку з відокремленими змінними.

Розділення змінних в деяких р-ня базується на властивостях пропорції. ДР з відокремленими змінними має вигляд: (1). (2). (3). Розділемо змінні в р-ні (3). Змінні в ДР розділяються так щоб дх і ду заходилися в чисельнику: . Після того як в ДР розділили змінні, його потрібно про інтегрувати: ; ; (4). При інтегруванні ДР стала лишається біля іксів. Вираз (4) називається першим інтегралом р-ня (1). Якщо з р-ня (4) можна явно виразити у, то це буде загальним розв’язком р-ня: у=(х,с). Стало інтегрування можна вибирати в довільному вигляді так, щоб спростити знаходження інтеграла.

41. Однорідні др першого порядку.

Функція двох змінних f(x,y) називається однорідною n якщо для довільного  виконується умова: (1). ДР першого порядку називаються однорідними якщо його права частина однорідна степеню ноль: (3). Якщо в формулі (3) взяти =1/х то ми одержимо: (4). Таким чином, ми показали що всяке однорідне ДР Іго порядку може бути записане у вигляді: у=(у/х) (5). Р-ня (5) розв’язується за допомогою двох прийомів: 1. Заміна. 2. Розділ змінних. у/х = z. (6) де z= z нова невідома функція. у = х * z (7). у= z+х z (8). z + х z=(х z/х). х z=(z)- z (9). В р-ні (9) можна розділити змінні: xdz/dx=(z)-z; dz/(z)-z=dx/x; ; Ф(z)=lnx+c (10). Якщо з формули (10) можна явно виразити z маємо: z=(x,c) (11). Y=x*(x,c) (12). Якщо з формули (10) явно знайти z не вдається то підставивши в цю формулу z із формули (6) знайдемо перший інтеграл з р-ня (5): Ф(у/х)= lnx+c