Литература.

Исследование операций в экономике / п/р Н.Ш Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 407с.
Высшая математика для экономистов / п/р Н.Ш Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471с.

Интернет – ресурсы:

1. Справочные материалы по высшей математике http://primat.at.ua

2. Электронные учебные пособия http://book.ru-deluxe.ru

Лекция 6. Графический метод решения Задачи линейного программирования.

Предпосылки решение задач графическим методом.
Алгоритм графического метода.
Пример решения задач графическим методом.

Рассмотрим ЗЛП в стандартной форме:

(1)

Рассмотрим эту задачу на плоскости, когда число переменных n=2:

(2)

Предположим, что система неравенств (2) совместна, то есть имеет хотя бы одно решение.

Как было показано в предыдущей лекции любое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой (i=1,2,…,m). Условия не отрицательности определяют полуплоскости с граничными прямыми x₁=0 и x₂=0 соответственно, а их пересечение дает I четверть координатной плоскости.

Вследствие того, что система совместна, то решения неравенств (полуплоскости), пересекаясь, образуют выпуклое множеством, так как сами являются выпуклыми множествами. Это множество – множество допустимых решений – представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы (каждого неравенства одновременно). Совокупность всех этих точек называется многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, прямая, замкнутый многоугольник, неограниченная многоугольная область.

Решение задачи линейного программирования графически представляет собой поиск такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют целевой функции оптимальное значение наибольшее или наименьшее.

Введем некоторые понятия.

Линия уровня целевой функции z – это линия, вдоль которой целевая функция принимает одно и то же фиксированное значение х₀:

z= z₀ или

Вектор-градиент функции z – это вектор частных производных. Если функция z линейна, то координаты вектора-градиента равны коэффициентам при соответствующих переменных

Линия уровня функции перпендикулярна вектору градиенту в данной точке.

Алгоритм решения ЗЛП графическим методом.(число переменных n=2)

В соответствии с ограничениями строится многоугольная область допустимых решений на плоскости х₁Ох₂. Далее строится вектор-градиент целевой функции z в любой точке х₀, принадлежащей области допустимых решений.
Линия уровня функции z , которая перпендикулярна вектору-градиенту, передвигается параллельно самой себе в направлении вектора-градиента если решается задача на максимум (в противоположном направлении, если решается задача на минимум) до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка (или точки) области и будут оптимальными точками.
Для нахождения координат оптимальной точки, решается система уравнений, которая соответствует прямым, на пересечение которых находится оптимальная точка. Значение целевой функции в этой точке оптимально, а координаты точки являются решением задачи линейного программирования.

Пример 6

Решить задачу графическим методом:

Решая систему неравенств, из которых состоят ограничения, построим многоугольник всех допустимых решений OABCD. Построим вектор-градиент целевой функции _z (см. рис.1). Его направление - это направление роста целевой функции. Так как мы рассматриваем задачу на поиск максимального значения, то линию уровня целевой функции, перпендикулярную вектору _z перемещаем в направлении этого вектора параллельно самой себе до тех пор, пока эта прямая не покинет область допустимых решений. Последняя точка области, общая с линией уровня функции, у нас это точка С, и будет решение задачи. Точка С находится на пересечении (1) и (2) прямых и, следовательно, ее координаты можно найти, решая систему уравнений: . Находим х₁=6, х₂=4. Точка С имеет координаты (6,4).

Рисунок 3

аксимум (максимальное значение целевой функции) равен значению функции в точке С:

z=26+34=24

Ответ: z=24 при оптимальном решении х₁=6, х₂=4, т.е. максимальна прибыль может быть достигнута при производстве 6 единиц первой и 4 единиц второй продукции.

Задания:

Решить задачи графическим методом:

Задача № 1