Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).

Пусть имеются два вида корма I и II, каждый из которых содержит питательные вещества (витамины). Назовем их A, B, C. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ известны и приведены в таблице 2.

Таблица 4

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
		I	II
A	9	3	1
B	8	1	2
C	12	1	6

Стоимость 1 кг корма I и II равна 4 и 6 рублей соответственно.

Требуется составить такой дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не меньше установленного предела.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Пусть х₁ – количество корма I и х₂ – количество корма II, из которых составляют дневной рацион. Данный рацион включает (3х₁+1х₂) единиц питательного вещества A, (1х₁+2х₂) единиц питательного вещества B, (1х₂+6х₂) единиц питательного вещества C. Содержание витамин A, B, C в рационе должно быть не менее, соответственно 9, 8, 12. Сопоставим эти условия и получим систему ограничений:

(4)

Так как нельзя купить отрицательное количество корма, то переменные:

(5)

Общая стоимость рациона (целевая функция) z составит в рублях:

(6)

Итак, получили экономико-математическую модель задачи: составить дневной рацион Х=(х₁,х₂), удовлетворяющий системе (4) и условию (5), при котором функция (6) принимает минимальное значение.

Общая задача линейного программирования.

Пусть дана система m уравнений и неравенств, где k – неравенств и m-k уравнений с n неизвестными (переменными):

(1)

и дана линейная функция:

(2)

Требуется найти решение системы X^*(x₁,x₂, …, x_n), где все x_j0 (для всех j от 0 до n), при котором функция z принимает максимальное или минимальное значение.

Такая задача называется задачей линейного программирования (ЗЛП) в общем виде. (1) называется системой ограничений; (2) – целевой функцией (функцией цели, критерий оптимальности).

Задачу линейного программирования можно записать в сокращенном виде:

(1^/, 2^/)

Оптимальным решением (планом) Задачи линейного программирования называется решение X^*(x₁,x₂,…,x_n) системы ограничений, при котором целевая функция принимает оптимальное значение (максимальное или минимальное).

Будем считать, не нарушая общности, что ограничения неравенствами имеют вид. "". Иначе, если знак неравенства "", то путем умножения его на –1 можно перейти к неравенству вида "".

Если система ограничений (1) состоит из одних неравенств (k=m), то такую задачу называют задачей линейного программирования в стандартном виде (в стандартной форме).

Если все ограничения системы (1) – равенства (k=0), то такую задачу называют задачей линейного программирования в каноническом виде (в канонической форме).

Любая Задача линейного программирования может быть приведена к каноническому виду.

Терема: Любому решению X^*(x₁,x₂,…,x_n) неравенства соответствует определенное решение X^*(x₁,x₂,…,x_n,x_n+1) уравнения в котором x_n+10.

И обратно: любому решению X^*(x₁,x₂,…,x_n,x_n+1) уравнения соответствует определенное решение X^*(x₁,x₂,…,x_n) неравенства _.

На основании теоремы приведем ограничение (1) к каноническом виду: