Задание.

В таблице приведены данные об использовании баланса за отчетный период (в условных денежных единицах):

Таблица 2

Отрасль		Потребление		Конечный продукт		Валовой выпуск
		1	2
Производство	1	100	160		240		500
	2	275	40		85		400

Вычислить необходимы объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличится вдвое, а второй отрасли на 20%.

Литература.

1. Высшая математика для экономистов / п/р Н.Ш Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471с.

Интернет – ресурсы:

1. Справочные материалы по высшей математике http://primat.at.ua

2. Электронные учебные пособия http://book.ru-deluxe.ru

Лекция 3. Предмет и задачи исследования операций. План.

1. Что такое исследование операций и чем оно занимается.

2. Основные понятия и принципы исследования операций.

3. Математические модели операций.

4. Прямые и обратные задачи исследования операций.

Исследование операций – это раздел математики, который использует математические, количественные методы для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Под решением будем понимать выбор из рада имеющихся возможностей. Решения бывают разными: плохими и хорошими, продуманными и скороспелыми, обоснованными и произвольными.

С принятием решений каждый человек сталкивается в своей жизни. Но не каждое принятие решений является результатом исследования операций. Если для принятия решения используется тот или иной математический аппарат, то тогда это задача исследования операций.

Чем дороже, сложней и масштабней планируемое мероприятие, тем важнее становятся научные методы. Они позволяют заранее оценить последствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наилучшие. Так же с помощью математических моделей можно установить: достаточно ли мы имеем информации, а если нет, то выяснить, информацию какого рода необходимо получить.

Впервые термин «исследование операций» появился в годы второй мировой войны. В вооруженных силах США и Англии появились специальные группы инженеров, математиков, физиков, которые готовили проекты решений для командующих военными действиями. В дальнейшем области, в которых применяется исследование операций значительно расширились на самые разные направления человеческой деятельности: промышленность, сельское хозяйство, строительство, торговля, транспорт, связь, управление и т.д.

Наиболее типичные задачи исследования операций:

1. План снабжения предприятия. Есть ряд предприятий потребляющих определенные виды сырья, и есть ряд складов, которые могут поставлять это сырье. Склады связаны с предприятиями различными путями сообщения. Каждый путь имеет свой тариф. Требуется разработать такой план снабжения предприятий, чтобы все потребности в сырье были обеспечены при минимальных затратах.

2. Постройка участка магистрали. Рассматривается сооружение участка железнодорожной магистрали. Имеется определенное количество средств, людей, строительных машин, ремонтных мастерских и других ресурсов. Надо спланировать строительство так, чтобы оно было осуществлено в максимально короткий срок.

3. Продажа сезонных товаров. Создается сеть временных торговых точек для реализации определенных сезонных товаров. Требуется найти: число точек, их размещение, товарные запасы и количество персонала на каждой из них, чтобы обеспечить максимальную эффективность работы.

4. Снегозащита дорог. Занесенные снегом дороги приводят к экономическому ущербу. Есть ряд возможных способов снегозащиты, каждый из которых требует определенных затрат на сооружение и эксплуатацию. Известны климатические условия, то есть господствующие направления ветров и интенсивность снегопадов. Требуется определить наиболее эффективный способ снегозащиты с учетом потерь, связанных с заносами.

5. Противолодочный рейд. С самолетов надо обнаружить подводную лодку противника, то есть рационально организовать рейд. Это предполагает выбор маршрута и высоты полетов, способа атаки, чтобы обеспечить выполнение боевого задания.

6. Выборочный контроль продукции. Выпускается продукция определенного вида. Организуется система выборочного контроля для обеспечения высокого качества. Надо разумно организовать контроль, то есть определить размер партии, набор тестов, способы браковки, чтобы обеспечить заданный уровень качества.

7. Медицинское обследование. Обнаружены несколько случаев опасного заболевания. Требуется организовать медицинское обследование населения данного района. Надо разработать план медицинского обследования, то есть определить число медицинских пунктов, порядок обследования, режим работы, исходя из имеющихся средств: оборудование, помещения, медицинский персонал, для выявления максимального процента заболевших.

8. Библиотечное обслуживание. Крупная библиотека обслуживает запросы, поступающие от абонентов. Разные книги пользуются разным спросом. Есть несколько возможностей расположения книг по хранилищам и стеллажам, а так же по диспетчеризации запросов в другие библиотеки. Требуется разработать такую систему библиотечного обслуживания, при которой забросы абонентов удовлетворяются максимально быстро.

Эти задачи относятся к разным отраслям практики, но у них есть общие черты: каждый раз речь идет об управляемом мероприятии, преследующем определенную цель.

Операцией называется всякое управляемое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направлением к достижению какой-то цели.

Всякий определенный выбор параметров зависящий от нас называется решением. Как уже говорилось ранее, решения могут быть разными. Оптимальными называется решение, которое по тем или другим признакам предпочтительнее перед другими.

Цель исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

В результате применения методов исследования операций может быть получено одно строго оптимальное решение, а может быть область практически равноценных оптимальных решений, в пределах которых надо сделать окончательный выбор.

Само принятие решений выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица. Присутствие человека, как окончательной инстанции, принимающей решение, не отменяется даже тогда, когда процесс полностью автоматизированный, и система может принимать решение без участия человека. Даже в этом случае человек выбирает каким алгоритмом воспользоваться.

Параметры, образующие решение, называются элементами решения. В качестве элементов решения могут выступать числа, вектора, функции, физические признаки и так далее. Например, в задаче 1 элементами решения будут х_i,j, показывающие какое количество грузов будет отправлено из i-го пункта в j.

Всю совокупность элементов решения будем обозначим х.

В любой задаче исследования операций имеются «дисциплинирующие» условия, которые заданы с самого начала и в ходе решения задачи изменены быть не могут. Они и формируют множество возможных (допустимых) решений. Обозначим это множество Х.

Тогда хХ.

Чтобы из множества допустимых решений выбрать оптимальное решение, нужно иметь критерий выбора. Этот критерий выбора называется целевой функцией. Целевая функция отражает направленность операции.

Когда показатель эффективности надо максимизировать будем обозначать zmax, когда минимизировать – zmin.

При влиянии на действие операции случайных факторов, в качестве показатели эффективности берется не сама величина, которую надо оптимизировать, а ее среднее значение.

Если в результате операции цель А может быть достигнута или нет, то есть когда существует два альтернативных исхода, то в качестве целевой функции берется вероятность наступления события А, Р(А).

Неверный выбор целевой функции приводит к неверным решениям.

Чтобы применять количественные методы исследования всегда требуется построение математической модели. В математической модели реально происходящие процессы (операции) упрощаются, схематизируются и эта схема – модель – описывается с помощью того или другого математического аппарата. Чем удачнее подобрана модель, тем лучше она отображает явление или процесс и тем успешнее будет исследование.

Общих способов построения математических моделей нет. Модель выбирается исходя из вида операции, ее целей и с учетом задачи исследования. Каждый раз исследователь выбирает какие параметры следует определить и влияние каких факторов отобразить. В каждом конкретном случае необходимо соизмерять точность и подробность модели с:

1. точностью, с которой нам нужно знать решение;

2. той информацией, которой мы располагаем или можем приобрести.

Построенная математическая модель должна отражать важнейшие черты исследования и все существенные факторы. Вместе с тем она должна быть простой, не засоренной множеством второстепенных факторов, так как это усложняет модель и может привести к неразрешимости задачи математически. Если влияние второстепенных факторов в сумме существенно, их можно объединить в один фактор.

Существует две опасности. Это: опасность построить слишком подробную модель, которая требует очень трудоемкого анализа или неразрешима; и слишком сильно упростить модель, тогда она не будет отражать сути явления.

Для решения конкретной задачи иногда используют несколько моделей, результаты расчета по которым сравниваются. Если существует возможность построения только одной модели, ее тестируют на уже пройденных ситуациях, чтобы определить точность работы.

Модели составляются математиками и специалистами-практиками в данной отрасли.

Для построения математических моделей необходимы знания по математическому анализу, линейному и нелинейному программированию, динамическому программированию, теории игр, теории массового обслуживания, теории вероятностей и др.

В зависимости от поставленных задач, для построения модели может быть использован математический аппарат различной сложности.

В исследовании операций широко применяются как аналитические, так и статистические модели. Аналитические модели – это модели полученные из общих законов функционирования явления. Они более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют допущений и упрощений. Но результаты расчетов по ним всегда обозримы, отражают основные закономерности, присущие явлению или процессу. Аналитические модели приспособлены для поиска оптимальных решений.

Статистические модели – это модели. которые строятся на основе имеющихся статистических данных. Они более точны и подробны, не требуют столько допущений, учитывают большее число факторов. Но эти модели громоздкие, плохо обозримые, трудоемкие и не приспособлены для поиска оптимального решения.

На практике оптимальным результатом является синтез аналитических и статистических моделей: с помощи аналитических моделей находят оптимальное решение, а статистическая модель уточняет аналитическую.

Задачи исследования операций бывают прямые и обратные.

Прямые задачи отвечают на вопрос – что будет, если в заданных условиях мы приме какое-то решение хХ, чему при этом будет равен показатель эффективности. Для решения такой задачи строится математическая модель, позволяющая выразить критерий эффективности z.

Обратная задача отвечает на вопрос как выбрать решение х, чтобы показатель эффективности был оптимальным. Если множество допустимых решений Х не велико, то обратную задачу можно решать методом простого перебора. То есть просто считаются значения z для всех элементов множества Х и путем сравнения выбирается наилучшее значение. Если множество Х велико, то применяется методы разумного (направленного) перебора.

Рассмотрим обратную задачу в общем виде.

Пусть имеется некоторая операция Q, на успех которой мы можем влиять, выбирая разными способами решение х. Критерием эффективности операции является целевая функция zmax.

Пусть все условия операции полностью известны. Тогда все факторы, от которых зависит успех операции можно разделить на две группы:

1. факторы, заданные заранее ()

2. факторы, зависящие от нашего выбора, решение (х).

Первая группа факторов содержит ограничения, которые налагаются на решение, то есть определяет область возможных решений Х.

z=z(,х), (1) где

х – может быть числом, но чаще это совокупность чисел (вектор), функция или некий другой объект. В числе заданных условий  присутствуют ограничения, налагаемые на элементы решения в виде равенств или неравенств:

_i(x)b_i (2)

Будем считать, что прямая задача решена и целевая функция (1) нам известна. Тогда можно сформулировать обратную задачу:

При заданном комплексе условий  найти такое решение х=х^*, которое обращает показатель эффективности z в максимум.

Или математическая форма запмси:

z=max{z(,x)} (3)

xХ

Эта задача сводится к задаче поиска оптимума при наложенных ограничениях и является задачей математического программирования.

Метод поиска оптимального решения выбирается исходя из вида целевой функции z и накладываемых ограничений. Например, если z линейно зависит от решения х и все ограничения представляют собой линейные неравенства или уравнения, то возникает классическая задача линейного программирования.

Если, исходя из содержательного смысла задачи, ее решение представляет из себя неделимые объекты, то есть должно быть целым, то это задача целочисленного программирования.

Если критерий оптимальности и (или) ограничения задаются нелинейными функциями, то задача нелинейного программирования. Например, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то задача называется задачей выпуклого программирования.

Если в задаче математического программирования имеется переменная времени и критерий эффективности выражается косвенно, через уравнения, описывающие протекание операции во времени, то это динамическое программирование.

Если целевая функция z и (или) ограничения задачи _i зависят от параметра, то это задача параметрического программирования.

Если целевая функция z и (или) ограничения задачи  носят случайный характер, то это задача стохастического программирования.

По своей содержательной постановке множество других типовых задач исследования операций может быть разбито на ряд классов.

Задачи сетевого планирования и управления рассматривают соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций и моментом начала всех операций комплекса. Эти задачи состоят в нахождении минимальной продолжительности комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимости и сроков их выполнения.

Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок и состоят в определение показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например, в определение числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.

Задача управления запасами состоит в отыскании оптимальных значений уровня запасов и размера заказа. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на хранение, но с другой, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.

Задача распределения ресурсов возникает при определенном наборе работ (операций), которые необходимо выполнить при ограничении наличных ресурсов, и требуется найти оптимальной распределение ресурсов между операциями или состав операций.

Задача ремонта и замены оборудования сводится к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также замены оборудования модернизированным.

Задача составления расписания состоит в определении оптимальной очереди выполнения операций на различных видах оборудования

Задача планировки и размещения состоит в определении оптимального числа и места размещения новых объектов с учетом их взаимодействия с существующими объектами и между собой.

Задачи выбора маршрута или сетевые задачи состоят в определение наиболее экономичных маршрутов.