Задания.

1. Построить сетевой график и найти продолжительность комплекса работ: Сделать деревянный ящик (работу выполняет один человек). Разместить доски в соответствии с размером ящика (15 мин.); разрезать доски (12 мин.); склеить части ящика (40 мин.); прибить к крышке ящика петли (8 мин.); подождать пока ящик высохнет, и вытереть его (15 мин.) петли с крышкой прибить к ящику (10 мин.).

2. Построить сетевой график и найти продолжительность комплекса работ: Заменить колесо машины (работу выполняют 2 человека). Достать из багажника домкрат и инструменты (40 с); снять диск с колеса (30 с); освободить колесо (50 с ); поставить домкрат под машину (26 с); поднять машину (20 с ); из багажника взять запасное колесо (25 с); снять гайки и колесо (20 с); установить запасное колесо на ось (10 с); завинтит (не сильно) гайки на оси (15 с); опустить машину и собрать домкрат(25 с); поставить домкрат обратно в багажник (10 с); завинтить гайки на оси до конца (12 с); положить плохое колесо и инструменты в багажник (40 с); поставить на место диск колеса (10 с).

Литература.

1. Исследование операций в экономике / п/р Н.Ш Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 407с.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Сов. радио, 1972.

3. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. – М.: Машиностроение, 1986.

Интернет – ресурсы:

1. Справочные материалы по высшей математике http://primat.at.ua

2. Электронные учебные пособия http://book.ru-deluxe.ru

Лекция №17:Средние величины. Показатели вариации. План лекции.

1. Понятие вариационного ряда. Показатели вариации.

2. Средние отклонения.

3. Пример расчета показателей в Excel.

4. Пример составления отчета.

Различие в индивидуальных значения признака внутри изучаемой совокупности в статистике называют вариацией признака. При изучении признака каждая вариация может встречаться не один раз. Количество раз, сколько данная вариация встретилась, называется частотой вариации. Все наблюдаемые вариации х_i, вместе со своими частотами f_i, расположенные в возрастающем порядке называется вариационным рядом.

Непрерывный признак X(x_i), i[1,n] может принимать любые значения в некотором числовом интервале, отличаясь один от другого на сколь угодно малую величину. Количество возможных значений непрерывного признака бесконечно. Значения непрерывного признака задаются интервалами, которые характеризуются интервальной частотой f_i . По данным наблюдений за непрерывным признаком строят интервальный вариационный ряд вида таблица 1.

Таблица 16. Интервальный вариационный ряд

Номер интервала	1	2	…	j	…	(q<n)
Границы интервала (xj-1;xj)	(x0;x1)	(x1;x2)	…	(xj-1;xj)	…	(xq-1;xq)
Средняя точка интервала	x1	x2		xj		xq
Частота интервала mj	f1	f2	…	fj	…	fq
Относительная частота wj	w1	w2	…	wj	…	wq

При работе с интервальным вариационным рядом, обычно, при расчетах берется не весь интервал, в точка принадлежащая ему. Это может быть начало, конец или середина интервала или еще каким либо образом выбранная точка, принадлежащая данному интервалу. Обозначим ее х_i.. если в задаче не оговорено, как выбрать точку, то будем брать середину интервала.

Средняя величина - обобщающая характеристика однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.

Определить среднюю можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу: суммарное значение, или объем усредняемого признака делится на число единиц, или объем совокупности (сумма всех частот):

, где .

Взвешенная средняя величина определяется по формуле:

.

Мода – значение признака, который наиболее часто встречается в исследуемой совокупности. Если таких признаков несколько, то все они являются модами.

В интервальном ряду распределения мода определяется по формуле:

,

где:

х_m0 – нижняя граница модального интервала,

i – величина модального интервала,

f_m0 – частота модального интервала,

f_m0-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_m0+1 – частота интервала, следующего за модальным/

Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту.

Медиана – это значение признака, которое расположено посередине вариационного ряда. Если число членов вариационного ряда нечетным, то в качестве медианы берут среднее. Если же число членов вариационного ряда четное, то в качестве медианы берут среднее арифметическое двух средних членов.

В интервальных вариационных рядах распределения ее значения вычисляются по формуле:

,

где:

– нижняя граница медианного интервала,

- сумма частот ряда,

- сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному,

- частота медианного интервала.

Медианный интервал ищется исходя из суммы накопленных частот. Это первый интервал, на котором сумма накопленных частот превысит (или будет строго равна) полусумме частот. Сумма накопленных частот – это частота рассматриваемого интервала плюс все предшествующие частоты.

На практике часто возникает необходимость вычислять не только средние величины, но и отклонения от средних – показатели вариации.

К ним относятся:

1. Размах вариации: .

2. Среднее линейное отклонение: .

3. Средний квадрат отклонений (дисперсия): .

4. Среднее квадратичное отклонение:

5. Коэффициент вариации: .

Рассмотрим вычисления характеристик вариационного ряда табличном процессоре Excel.

Пример 27.

Имеются следующие данные о распределении продавцов по возрасту:

Возраст продавцов	Число продавцов
16-18	7
18-20	38
20-24	53
24-30	49
30-40	37
40-50	16

Определите средний возраст продавца, моду и медиану, размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации.

Решение.

1. Составим в Excel таблицу:

Первые 3 столбца заполняем данными из условия задачи.

2. Так как рассматриваемый вариационный ряд является интервальным, то определим точки, принадлежащую каждому интервалу. Поскольку никаких требований нет возьмем его середины. Середину интервала можно посчитать по формуле СРЗНАЧ() или просто посчитать как сумму верхнего и нижнего предела возрастного интервала, деленного пополам.

3. Для вычисления среднего возраста найдем x_if_i, то есть число продавцов умноженная на средний возраст. В данном случае число продавцов это вес или частота интервала.

4. С помощью автосуммирования найти общее число продавцов и , просуммировав соответствующие столбцы.

5. По формуле взвешенной средней определяем средний возраст.

   Средний возраст

   =E9/C9

6. Чтобы найти модальный интервал, найдем максимальное значение числа продавцов (функция MAKC()). Соответствующий этому числу интервал будет модальным.

   Число продавцов максимальное

   =МАКС(C3:C8)

7. Моду вычисляем по формуле для интервального ряда (частота интервала – это число продавцов).

   Мода	=A5+(B5-A5)*(C5-C4)/((C5-C4)+(C5-C6))

8. Для вычисления медианы необходимо найти полусумму частот ряда (имеющуюся уже сумму разделить пополам).

   Полусумма частот

   =C9/2

9. Для медианного интервала сумма накопленных частот ряда должна быть больше либо равна полусумме частот ряда. При накоплении получим медианный интервал от 24 до 30. По формуле cчитаем медиану.

Медиана

=A6+(B6-A6)*(B16-J5)/C6

10. Размах вариации находим по формуле =MAKC(середина интервала)-МИН(середина интервала).

    Размах вариации

    =МАКС(D3:D8)-МИН(D3:D8)

11. Для нахождения линейного отклонения, дисперсии и среднеквадратичного отклонения проведем промежуточные расчеты в столбцах таблицы. (хср – это среднее значение).

12. Далее последовательно по формулам находим все отклонения.

Линейное отклонение	=G9/C9
Дисперсия	=I9/C9
Среднеквадратичное отклонение	=КОРЕНЬ(B20)
Коэффициент вариации	=B21*100/B13

Получим результат: