Лекция 15. Задача потребительского выбора.

План.

1. Условия и обозначения модели.

2. Функция полезности.

3. Свойства функции полезности.

4. Линии безразличия. Бюджетные ограничения.

5. Сведение задачи потребительского выбора к задаче математического программирования.

6. Предельная норма замены и функции спроса.

Рассмотрим модель потребительского спроса. Будем считать, что потребитель располагает доходом I, который полностью тратит на приобретение благ. Следовательно, I – это расход потребителя.

В рассматриваемой модели потребитель решает статистическую задачу, то есть в модели не учитываются его межвременные предпочтения и возможность делать или расходовать сбережения.

Цены потребляемых благ так же заданы.

Учитывая структуры цен, доходы и собственные предпочтения, потребитель потребляет определенное количество благ. Математическая модель такого поведения называется моделью потребительского выбора.

Рассмотрим модель с двумя видами благ:

х₁ – количество единиц первого блага;

х₂ – количество единиц второго блага.

Все блага будем обозначать вектором (х₁, х₂).

Выбор потребителя характеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем: потребитель про любые два набора может сказать, что либо один предпочтительнее, чем другой, либо они равнозначны.

Отношение предпочтения транзитивно: если набор А(a₁, а₂) предпочтительней набора B(b₁, b₂), а набор B(b₁, b₂) предпочтительней набора С(с₁, с₂), то А(a₁, а₂) предпочтительней С(с₁, с₂).

На множестве потребительских наборов(х₁, х₂) определена функция полезности U(х₁, х₂), значение которой на потребительском наборе (х₁, х₂) равно потребительской оценке этого набора.

U(х₁, х₂) называют уровнем (степенью) удовлетворения потребностей индивида, если он приобретает или потребляет набор (х₁, х₂). Каждый потребитель имеет свою функцию полезности U(х₁, х₂).

Если набор А предпочтительнее набора В, то U(A)>U(B).

Свойства функции полезности U(х₁, х₂):

1. Возрастание потребления одного продукта, при постоянном потреблении другого продукта ведет к росту потребительской оценки.

Если , x₂=const.

Если , x₁=const.

Это означает, что:

Первые частные производные называются предельными полезностями продуктов: - продукта х₁, - продукта х₂.

.

2. Закон убывания предельной полезности. Предельная полезность любого продукта уменьшается, если объем его потребления растет.

3.Предельная полезность любого продукта увеличивается, если растет количество другого продукта. Продукт, количество которого фиксировано, становится относительно дефицитным. Значит, дополнительная его единица приобретает все большую ценность и может быть предельно более эффективна.

Внимание! 3 свойство выполнено не для всех благ! Если блага являются взаимозаменяемыми, то это свойство не выполняется.

Замечание. В литературе понятие предельно полезности трактуется неоднозначно.

Примеры различных трактовок предельной полезности:

1. ;

.

2. ;

.

3. ;

Линия, соединяющая потребительские наборы, имеющих один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивида называется линией безразличия. Это линия уровня функции полезности. Множество линей уровня называется картой линей безразличия.

Рисунок 8

Линии безразличия не касаются друг друга и не пересекаются (параллельны).

Чем северо-восточнее расположены линии безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребностей она соответствует.

Линия безразличия убывает. Если свойство 3 выполнено (блага не взаимозаменяемы), то линии безразличия вогнуты (выпуклы вниз).

Рассмотрим фиксированную линию безразличия l_τ (см. Рисунок 9).

Рисунок 9

Пусть (х₁, х₂) . Тогда справедлива формула: = (следует из равенства 0 главной линейной части приращения).

, .

А так как , то .

показывает на сколько индивидуум должен увеличить (уменьшить) свое потребление второго продукта, если он уменьшил (увеличил) потребление первого продукта на 1 единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей.

Дробь называют нормой замены первого продукта на второй на потребительском наборе (х₁, х₂).

равна предельному значению , при . Поэтому ее называют предельной нормой замены первого продукта на второй на потребительском наборе (х₁, х₂).

Пример функции полезности.

,

где

Имеем: свойство 1 выполнено.

свойство 2 выполнено.

А свойство 3 не выполнено, так как .

Задача потребительского выбора.

Задача потребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора , который максимизирует функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы не могут превышать денежные доходы, то есть , где и - рыночные цены единицы первого и второго продуктов соответственно.

Задача потребительского выбора имеет вид:

Допустимое множество, то есть множество наборов благ, допустимых для потребителя, представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой.

На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности.

Рисунок 10

Графически решение ищется, как последовательные переход на линии все более высокого уровня полезности (вправо вверх) до тех пор, пока эти линии все еще имеют общие точки с допустимым множеством.

Решение задачи потребительского выбора называют оптимальным набором для потребителя или локальным рыночным равновесием потребителя.

Задача потребительского выбора – это задача математического программирования (нелинейный случай).

Заметим: если на каком-либо наборе бюджетное ограничение будет выполняться в виде строго неравенства , то мы можем увеличить потребление какого-либо продукта и тем самым увеличим функцию полезности. Следовательно, максимизирующий функцию полезности должен лежать на бюджетной прямой .

Бюджетная прямая проходит через точки и .

Будем считать, что в оптимальной точке условие выполняется автоматически (из свойств функции полезности). Как правило, это действительно так. Если условия неотрицательности переменных не включать в задачу потребительского выбора, то она выглядит так:

Таким образом, получили задачу на условный экстремум. Решим ее методом множителей Лагранжа. Построим функцию Лагранжа.

Продифференцируем функцию Лагранжа по всем переменным:

.

Приравняем все производные 0, исключим и получим систему уравнений:

.

- решение этой системы – решение задачи потребительского выбора.

Подставив решение в левую часть равенства , получим, что в точке локального рыночного равновесия индивида отношение предельной полезности продуктов равно отношению их рыночных цен.

.

Отношение - предельная норма замены первого продукта вторым. В точке локального рыночного равновесия она равна отношению цен данных продуктов.

Из формулы следует , то есть отношение (со знаком минус) конечных (относительно небольших) изменений и объемов продуктов в локальном рыночном равновесии приблизительно равно отношению рыночных цен и на продукты.

Эта формула позволяет дать приближенные оценки отношению рыночных цен, если известны конечные изменения объемов продуктов относительно потребительского набора, приобретаемого потребителем, то есть набора, который следует трактовать, как оптимальный.

Координаты задачи потребительского выбора есть функции параметров , и I.

, I)

, I)

Получили функции спроса на первый и второй продукт.

Функции спроса являются однородными нулевой степени относительно цен и дохода, это означает, что значение функций спроса инварианты по отношению к пропорциональным изменением цен и дохода:

, I)= , I),

, I)= , I)

выполнено для любого Если все цены и доход изменятся в одно и то же число раз, величина спроса останется неизменной.

Случай потребительского набора n благ принципиально не отличается от случая .