Задания:

1) Определить верхнюю и нижнюю цену игры, минимаксные стратегии и оптимальное решение игры и, если существует седловая точка, определить ее.

1.

0,3	0,6	0,8
0,9	0,4	0,2
0,7	0,5	0,4

2.

4	5	3
6	7	4
5	2	3

3.

8	9	9	4
6	5	8	7
3	4	5	6

4.

2	5	3
6	4	5
3	7	8
2	3	4

5.

4	9	5	3
7	8	6	9
7	4	2	6
8	3	4	7

6.

4	5	6	7	9
3	4	6	5	6
7	6	10	8	11
8	5	4	7	3

2) Найти смешанные стратегии игроков и цену игры:

1.

-2	2
1	-1

2.

2	3
1	2

3.

4	-2
1	3

Литература.

1. Исследование операций в экономике / п/р Н.Ш Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 407с.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Сов. радио, 1972.

3. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. – М.: Машиностроение, 1986.

Интернет – ресурсы:

1. Справочные материалы по высшей математике http://primat.at.ua

2. Электронные учебные пособия http://book.ru-deluxe.ru

Лекция 14. Нелинейное программирование.

План.

1. Классическое определение экстремума.

2. Необходимое и достаточное условие существования экстремума.

3. Глобальный экстремум.

4. Условный экстремум.

5. Метод множетелей Лагранжа.

6. Выпуклые множества и выпуклые функции.

Классическое определение экстремума.

Не во всех социально-экономических задачах зависимость между постоянными и переменными функции линейна. Более детальное рассмотрение обнаруживает их нелинейность. Как показывает практика, прибыль, себестоимость, капитальные затраты на производстве, потребительская и так далее, в действительности зависят от ресурсов нелинейно.

В общем виде задача нелинейного программирования имеет вид:

,

где к целевая функция и ограничения переменных могут быть нелинейными.

Можно выделить класс нелинейных задач, которые относятся к классическим методам оптимизации. Для них должны быть выполнены требования:

• среди ограничений не должно быть неравенств;

• необязательны условия неотрицательности переменных;

• не должно быть дискретных переменных;

• m<n (число ограничений меньше числа неизвестных);

• непрерывны и имеет частные производные II порядка.

Задача нелинейного или математического программирования формулируется следующим образом: найти переменные , удовлетворяющие условиям ограничений и обращающим в максимум (минимум) функцию .

Пример 23

Пусть фирма для производства продукции расходует два ресурса: труд и капитал. Обозначим х₁ и х₂ - затраты соответствующих ресурсов. Ресурсы будем считать взаимозаменяемыми, а это значит, что можно применять такие методы производства, при которых величина затрат капитала в соответствии с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (трудоемкость производства). Объем производства является функцией затрат производства (производственная функция) Издержки зависят от расходов обоих ресурсов и от цен этих ресурсов . Совокупные издержки выражаются уравнением: .

Требуется при данных совокупных издержках определить такое количество ресурсов, которое максимизирует объем продукции z.

Составим математическую модель задачи:

Для решения данного класса задач применяются методы классической оптимизации.

Пусть функция дважды дифференцируема в точке и в некоторой ее окрестности. Если для всех точек Х из этой окрестности выполнено: или то имеет локальный экстремум в точке (максимум или минимум соответственно).

Стационарной или критической точкой называется точка , в которой все частные производные равны 0.

Необходимое условие существования экстремума: если в точке функция имеет экстремум, то первые производные в этой точке равны 0:

, то есть все точки экстремума удовлетворяют системе уравнений:

.

Однако необходимое условие не является достаточным. Для получения достаточного условия необходимо определить знак дифференциала второго порядка .

Достаточное условие существования экстремума:

1. в точке функция имеет максимум, если и минимум, если , для всех , не обращающихся в ноль одновременно ( );

2. если может принимать, в зависимости от то положительные, то отрицательные значения, то в точке экстремума нет;

3. если может обращаться в ноль, не только при нулевых приращениях , то вопрос о существовании экстремума в точке остается открытым.

Выразим достаточное условие для функции двух переменных . Вычислим четыре частных производных второго порядка: , причем смешанные производные, если непрерывны, то равны.

Найдем значение частных производных второго порядка в стационарной тоске :

.

Обозначим через определитель, составленный из :

.

Тогда достаточное условие функции двух переменных имеет вид:

1. если , то в точке максимум; если , то в точке функция достигает минимума ( );

2. если , то экстремума нет;

3. если , то вопрос об экстремуме остается открытым.

Пример 24

Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Найдем частные производные:

.

Приравниваем их нулю и получим систему уравнений:

Решая полученную систему, находим три стационарные точки .

Найдем вторые частные производные функции:

Вычислим значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, вычислим и определим, выполняются достаточные условия или нет.

В точке

.

Вопрос об экстремуме остается открытым. Такие точки называется седловыми.

В точке , а также в точке

.

В этих точках функция имеет минимум, так как .

Глобальный экстремум.

Функция имеет в точке глобальный максимум или глобальный минимум, если неравенство или соответственно выполнено для всех точек Х области .

Терема Вейерштрассе: Если область замкнута и ограниченна, то дифференцируемая функция достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений в стационарной точке или в граничной точке области.

Алгоритм нахождения глобального экстремума.

1. Находим все стационарные точки функции, принадлежащие области и вычислить значение функции в этих точках.

2. Исследуем функцию на экстремум на границе области .

3. Сравниваем значения функций пункта 1 и пункта 2 и выберем из них максимальное и минимальное.

Условный экстремум.

Пусть требуется найти экстремум функции , при условии, что на переменные наложены ограничения:

.

называются уравнениями связи.

И пусть имеют непрерывные частные производные по всем переменным.

Говорят, что в точке , удовлетворяющей уравнениям связи функция имеет условный экстремум, максимум или минимум, если или выполнено для любых , удовлетворяющих уравнениям связи.

Метод множителей Лагранжа.

Применяется для определения условного экстремума функции.

Для этого строится функция Лагранжа, которая в области допустимых решений достигает максимума (минимума) для тех же значений переменных , что и целевая функция z, при заданных ограничениях:

,

где - коэффициенты, которые называются множителем Лагранжа.

Экономический смысл множителей Лагранжа: если - доход, а - издержки i-го ресурса, то - цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая изменение целевой функции в зависимости от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка).

- функция n+m переменных . Для нахождения стационарных точек этой функции найдем частные производные по всем переменным и получим систему уравнений:

.

Таким образом, нахождение условного экстремума функции сводится к нахождению локального экстремума функции Лагранжа.

Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума в простейших случаях решается на основании достаточного условия существования экстремума: исследование знака второго дифференциала в стационарной точке, при условии, что переменные приращения связаны соотношением:

.

Пример 25

Найти экстремум функции , при условии, что переменные связаны соотношением: .

Решение.

Составим функцию Лагранжа:

.

Найдем частные производные функции Лагранжа и приравняем их 0:

Решая систему получаем стационарную точку: .

Точка (3;1) - точка условного экстремума функции .

Выпуклые множества и выпуклые функции.

Выпуклым называется множество М, если для любых точек выполнено: , при условии, что .

Функция , определенная на выпуклом множестве n-мерного пространства, называется выпуклой на этом множестве, если:

для всех и для всех .

Если в данном определении знак "" заменить на знак "", то тем самым определится вогнутая функция.

Если неравенство строгое, то функция строго выпуклая (вогнутая) соответственно.

Геометрически условие выпуклости (вогнутости) функции означает, что отрезок, соединяющий любые две точки функции, лежит не выше (не ниже) самой линии функции.

Рисунок 7

Алгебраические и аналитические свойства выпуклых функций.

1. Если - выпуклая функция, то - вогнутая функция.

2. и являются всюду выпуклыми и всюду вогнутыми.

3. Если выпуклые функции, то для любых действительных - выпуклая функция.

4. Если выпукла, то любая область решения неравенства является либо выпуклым, либо пустым.

5. Если выпуклые функции при любых неотрицательных значениях переменных, то область решения системы неравенств является выпуклым множеством или пуста.

6. Выпуклая (вогнутая) функция, определенная на выпуклом множестве М, непрерывна в каждой внутренней точке этого множества.

7. Всякая дифференцируемая и строго выпуклая (вогнутая) функция имеет не более одной стационарной точки. При этом стационарная точка всегда является точкой локального и глобального максимума (минимума).

8. Дважды дифференцируемая функция является выпуклой тогда и только тогда, когда для любых и не обращающихся в ноль одновременно.

Критерий Сильвестра: свойство 8 выполнено тогда и только тогда, когда неотрицательны все главные миноры матрицы вторых частных производных.

Если все главные миноры , то функция строго выпуклая.

Пример 26

Исследовать функцию на выпуклость .

Решение.

Найдем первые и вторые частные производные:

Составим матрицу вторых производных.

. Все главные миноры матрицы положительны, следовательно, функция F строго выпуклая.

Задача выпуклого программирования.

Пусть дана целевая функция и система ограничений, накладывемых на переменные:

, где

- выпуклые на некотором множестве М функции;

- либо выпуклая, либо вогнутая функция.

Задача выпуклого программирования состоит в отыскании такого решения системы ограничений, при котором выпуклая целевая функция достигает минимального значения или вогнутая целевая функция максимального значения. Условие не отрицательности переменных можно считать включенными в систему ограничений.

Частным случаем выпуклого программирования является линейное программирование.

Выпуклое программирование выделено в специальный класс, так как выпуклые функции объясняется следующими экстремальными свойствами:

• локальный минимум выпуклой функции (максимум - вогнутой) является одновременно глобальным;

• выпуклая (вогнутая) функция достигает на замкнутом множестве глобального минимума (максимума).

Если целевая функция является строго выпуклой (вогнутой) и если область решений системы ограничений не пуста и ограничена, то задача выпуклого программирования имеет единственное решение.

Минимум выпуклой функции (максимум вогнутой) достигается внутри области решений, если там имеется стационарная точка, или на границе этой области, если внутри нет стационарной точки.

В общем случае множество оптимальных решений задач выпуклого программирования является выпуклым.

Задания.

1. Исследовать функцию на экстремум:

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

   5. 

   6. 

   7. 

   8. 

2. Исследовать функции на условный экстремум:

   1. при

   2. при

   3. при

   4. при

   5. при

Литература.

1. Исследование операций в экономике / п/р Н.Ш Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 407с.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Сов. радио, 1972.

3. Высшая математика для экономистов / п/р Н.Ш Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471с.

Интернет – ресурсы:

1. Справочные материалы по высшей математике http://primat.at.ua

2. Электронные учебные пособия http://book.ru-deluxe.ru