Лекция 1 Введение в математические методы. План.

1. Об истории предмета.

2. Математическая структура модели.

3. Виды социально-экономических моделей.

Современная экономическая теория, как на микроэкономика, так и макроэкономика использует математические модели методы как один из основных элементов.

Использование математики в исследовании социально-экономических процессах позволяет:

1. выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи социально-экономических процессов;

2. выделить основные объекты этих процессов (изучение этих объектов предполагает высокую степень абстракции);

3. методом дедукции получить из четко сформулированных исходных данных выводы, адекватные изучаемому объекту или процессу;

4. получить новые знания об объекте путем индукции: оценить форму и параметры зависимости его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям;

5. точно и компактно излагать положения социально-экономической теории, сформулировать понятия и выводы.

Применение математических методов в исследовании экономических процессов были использованы в иллюстративных и исследовательских целях в работах Ф. Кене (1758 г. «Экономическая таблица»), А.Смита (классическая макроэкономическая модель), Д.Рикардо (модель международной торговли). Представители «математической школы» такие, как Л.Вальрас, О.Курно, В.Парето, Ф.Эджворт внесли большой вклад в математические методы в XIX веке. Широкое распространение математические методы в изучении социально-экономических процессах получили в XX веке. С их использование связаны практически все работы удостоенные Нобелевской премии в области экономики (Д.Хикс, Р.Солоу, В.Леонтьев, П.Самуэльсон и др.).

Известны такие российские ученые, как В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий, Н. Кондратьев. В начале XX века их работы внесли большой вклад в математическое моделирование. В 1930-50 гг. в этой области не наблюдалось прогресса из-за идеологии существующего режима. В 60-ые годы экономико-математическое направление в исследовании социально-экономических процессов возродилось (В.С. Немчинов, В.В. Новожилов, Л.В. Канторович(Нобелевская премия)), но в большинстве своем это направление было связано с проблемами оптимального функционирования плановой экономики (Н.П. Федоренко, С.С. Шаталин и др.).

Вместе с развитием математического моделирования социально-экономических процессов развивались такие отрасли прикладной математики как теория игр, исследование операций и математическая статистика.

Любое социально-экономическое исследование предполагает объединение теории (модели социально-экономического или экономического процесса) и практики (статистических данных). Теоретическая модель используется для описания и объяснения наблюдаемых процессов, статистические данные – для эмпирического описания и обоснования модели.

Социально-экономическая модель – упрощенные и формально описанные социально-экономические процессы (модель оптимального планирования производства, потребительского выбора и т.д.).

Этапы построения социально-экономической модели:

1. На первом этапе формулируется предмет и цель исследования.

2. На втором этапе выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие данной цели, выявляют наиболее важные качественные характеристики.

3. На третьем этапе словесно, то есть качественно описывают взаимосвязи между элементами модели.

4. На четвертом этапе вводят символические обозначения для учитываемых характеристик экономических объектов и социально-экономических процессов и формализуют отношения между ними. На этом этапе завершается построение математической модели.

5. На пятом этапе проводят расчеты по полученной математической модели и анализируют полученные результаты.

Между структурой модели и ее содержательной интерпретацией существует различие. Посмотрим на примерах.

Пример 1.

Определить какую сумму следует положить в банк при заданной ставке процента (20%), чтобы через год получить $12000.

Пусть:

M₀ – начальная сумма денег, которую надо положить в банк;

M₁ – конечная сумма денег, которая будет на счету через год;

R – ставка процента.

Пример 2.

Определить каков был объем выпуска продукции завода, если в результате технического перевооружения средняя производительность труда увеличилась на 20% и завод стал выпускать 12000 ед. продукции.

Пусть:

Q₀ – начальный выпуск продукции, до технического перевооружения;

Q₁ – конечный выпуск, после технического перевооружения;

R – процент прироста производительности.

Производительность труда определяется по формуле: Q/L

Проведем преобразования:

Сравним полученные модели. Можно заметить, что математическая структура (формула по которой производится расчет) и даже цифры моделей одинаковы. Однако в этих моделях они описаны разные экономические ситуации.

Построение социально-экономических моделей позволяет выявить особенности функционирования различных социально-экономических объектов и на основание этих результатов построить прогноз для изучения их дальнейшего поведения.

Неполнота социально-экономической модели. По своему определению любая социально-экономическая математическая модель абстрактна и, поэтому, неполна. Так как при выделении наиболее существенных факторов, определяющих закономерности функционирования рассматриваемого экономического объекта или социально-экономического процесса, исследователь абстрагируется от других факторов, которые, несмотря на свое небольшое влияние. Исследователь вынужден абстрагироваться от ряда незначительных факторов, иначе модель будет иметь много связей (что будет выражено в большом количестве переменных и уравнений), что сделает невозможным ее исследование. А эти отброшенные факторы в совокупности могут определять не только отклонение поведения объекта, но и само его поведение.

Таким образом, можно дать следующее определение модели.

Модель – условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования.

Изучение модели дает новые знания об объекте, или позволяет определить наилучшие решения той или иной ситуации.

Основные типы моделей.

Математические модели, используемые в социально-экономических процессах, можно разделить на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария. Экономические модели можно разделить на макро- и микроэкономические модели. Все социально-экономические модели делятся на теоретические и прикладные, статические и динамические).

Макроэкономические модели, связывают между собой укрупненные экономические и финансовые показатели: ВНП, потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и т.д., то есть описывают экономику как единое целое.

Микроэкономические модели описывают функционирование одной структурной единицы (фирмы, домашнего хозяйства).

Среди макроэкономических моделей особое место занимают модели экономического равновесия. Они описывают состояние экономики, при котором результирующая всех сил, пытающихся вывести экономику из этого состояния, равна нулю. Из микроэкономических моделей часто используют оптимизационные модели, т.е. модели, которые максимизируют прибыль или минимизируют затраты.

Теоретические модели позволяют с помощью дедукцией выводов из формальных предпосылок изучить общие свойства объекта и его характерных элементов.

Прикладные модели дают возможность оценивать заданные параметры функционирования некоторого конкретного объекта и сформулировать рекомендации для принятия конкретного решения.

Статические модели не учитывают временной параметр и описывают состояние объекта в конкретный момент времени.

Динамические модели отображают взаимосвязь составляющих модели во времени.

Детерминированные модели – это модели, в которых определены жесткие функциональные связи между объектами.

Стохастические модели – это модели, в которых взаимосвязи между объектами могут изменяться при наличии случайных воздействий.

Пример 3.

Рассмотрим фирму, выпускающую несколько видов продукции. В процессе производства используются 3 вида ресурсов: оборудование, рабочая сила, сырье; эти ресурсы однородны, количества их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Задан расход каждого из ресурсов на производство единицы продукции каждого вида (технология производства известна). Известны цены продуктов. Нужно определить объем производства, при котором стоимость произведенной продукции будет максимальной.

Экзогенные переменные – переменные, которые задаются вне модели, то есть заранее известны. В данной задаче это:

K – количество оборудования;

L – рабочая сила;

R – сырье.

Параметры – коэффициенты уравнений модели.

Иногда экзогенные переменные и параметры в моделях не различают.

В данной задаче в качестве параметров будем рассматривать расходы этих ресурсов на единицу продукции: k_i, , r_i, р_i i=1…3

Эндогенные переменные – определяются в ходе расчета модели. Это переменные, которые вводятся в модели.

x_i – неизвестные объемы производства каждого вида продукции.

Найдем допустимое множество – область определения – множество всех возможных вариантов решений. В нашей задаче это совокупность вариантов производства, обеспеченных имеющимися ресурсами.

К этим ограничениям добавим требование неотрицательности эндогенных переменных x_i. Экзогенные переменные неотрицательны, исходя из логического смысла задачи. Если какой-то ресурс надо израсходовать полностью, то знак неравенства заменяется на =.

Введем целевую функцию, которую необходимо максимизировать или минимизировать. В данном случае, это прибыль, получаемая от продажи продукции:

Мы построили математическую модель.

Однако, построенная модель не всегда точно отображает реальность. Причины могут быть различными:

1. ресурсы до некоторой степени взаимозаменяемы (например труд и капитал могут быть взаимозаменяемыми);

2. затраты ресурсов могут быть не пропорциональны выпуску (постоянные затраты);

3. объемы ресурсов не всегда фиксированы (но мы считаем что в рассматриваемом производственном цикле количество ресурсов изменено быть не может);

4. внутри каждого ресурса могут быть составляющие, функционально или качественно различные;

5. цены продуктов и ресурсов могут изменяться с изменением объема продаж;

6. фирма может использовать одну из конечного набора технологий, которая определяется сочетаниями ресурсов;

7. различные единицы получаемой прибыли могут иметь разную ценность;

8. интересы фирмы не всегда ограничиваются максимизацией прибыли;

9. на ситуацию могут воздействовать случайные факторы.