II.Метод минимальной стоимости.

Метод минимальной стоимости отличается от метода северо-западного угла тем, что на каждом шаге выбирается переменная не в верхней левой ячейке, а в ячейке, стоимость которой минимальна. Все дальнейшие действия осуществляются аналогично методу северо-западного угла.

Пример 19

	5		15		15		10
15	х11	10	х12	0	х13	20	х14	11
25	х21	12	х22	7	х23	9	х24	20
5	х31	0	х32	14	х33	10	х34	18

Найдем начальное базисное решение методом минимальной стоимости.

Ячеек с наименьшей стоимостью равной 0 несколько. Возьмем любую из них, например (1, 2). Ей соответствует переменной . Присвоим переменной значение равное min(15;15)=15. Поскольку объем производства равен объему спроса, то вычеркивается первая строка и второй столбец. Так как вычеркнуты одновременно строка и столбец, то из вычеркнутых на этом шаге ячейках выбирается ячейка с минимальной стоимостью и соответствующей переменной присваивается значение 0, . Далее, в оставшейся таблице выбираем ячейку с минимальной стоимостью. Это ячейка (3, 1). Переменная . Вычеркиваем первый столбец и третью строку. Снова одновременно вычеркнули и строку и столбец, тогда положим . Осталось не вычеркнутыми две ячейки. Соответственно присваиваем . Во втором пункте потребления остается 10 единиц. Переменной .

	5		15			15				10
15		10	15	0				20				11
25		12	0		7		15		9		10		20
5	5	0			14		0		10				18

Получили начальное допустимое базисное решение:

Целевая функция при этом будет равна:

Следует отметить, что значение целевой функции начального допустимого базисного решения найденного методом минимальной стоимости меньше, чем значение целевой функции начального допустимого базисного решения найденного методом северо-западного угла.

Критерий оптимальности и нахождение переменной вводимой в базис.

Метод потенциалов.

Метод потенциалов эквивалентен выражению целевой функции через небазисные переменные в обычном симплекс-методе.

Суть метода состоит в том, что каждому столбцу i и каждой строке j ставятся в соответствие переменные - потенциалы. Для потенциалов выполнено: для всех базисных переменных . Совокупность таких уравнений образует систему m+n-1 уравнений с m+n неизвестными. Значение потенциалов определяется из этой системы, если одному из потенциалов придается произвольное значение. Обычно, потенциалу U₁ приписывается значение 0. И из полученной системы уравнений находят остальные потенциалы.

Рассмотрим начальный допустимый план перевозок, найденный в примере 20:

	V1		V2		V3		V4
U1	5	10	10	0		20		11
U2		12	5	7	15	9	5	20
U3		0		14		10	5	18

Припишем каждой строке и каждому столбцу переменную – потенциал. Для ячеек с базисными переменными составим систему уравнений

Найдем потенциалы. Положим , тогда

Далее, с помощью найденных потенциалов получим оценки для небазисных переменных по формуле: .

Получим оценки небазисных переменных для нашей задачи:

Критерий оптимальности: если все оценки небазисных переменных неположительные , то полученное решение оптимально.

Если критерий оптимальности не выполнен, то переменная, имеющая самую большую оценку, будет вводиться в базис. Если таких несколько, то берем любую. В нашем случае в базис должна быть введена переменная .

Нахождение переменной, выводимой из базиса.

Этот шаг эквивалентен проверке условия допустимости в симплекс-методе. Увеличивать объем перевозки в клетке вводимой переменной (3;1) можно до тех пор, пока одна из базисных переменных не станет равной 0.

Распределительный метод (построение замкнутого цикла).

Для вводимой переменной строится замкнутый цикл (цикл начинается и заканчивается в ячейке вводимой переменной). Он состоит из вертикальных и горизонтальных перемещений по транспортной таблице, причем, смена направлений происходит только в ячейках с базисными переменными. Цикл всегда существует и всегда единственный.

	5		15		15		10
15	5 (-)	10	1 0(+)	0		20		11
25		12	5(-)	7	15	9	5(+)	20
5	х31(+)	0		14		10	5(-)	18

Так как количество перевозимого груза не измениться, то увеличение переменной на 1 единицу эквивалентно уменьшению переменной на 1 единицу, увеличению на 1 единицу, уменьшению на 1 единицу, увеличению на 1 единицу, уменьшению на 1 единицу, то есть изменению всех базисных переменных, стоящих в ячейках, где цикл меняет направление.. Ячейки, в которых перевозимая продукция увеличится, пометим знаком "+", а в которых уменьшиться - "-" (помечаются ячейки, в которых меняется направление построенного цикла). Начинаем с ячейки вводимой переменной.

Этот процесс всегда начинается на "+" и заканчивается на "-". Переменную, выводимую из базиса, будем искать в ячейках, помеченных знаком "-". Чтобы выполнилось условие допустимости выбирается переменная значение которой минимально. Эта переменная будет выводится из базиса.

После того как выводимая переменная найдена происходит переход к новой транспортной таблице. Он осуществляется по правилу: значение переменной, выводимой из базиса прибавляется ко всем значениям переменных, стоящих в ячейкам, помеченным знаком "+" и отнимается от значений переменных, стоящих в ячейках, помеченных "-".

В рассматриваемом примере min(5;5;5)=5. Следовательно, любую соответствующую переменную можно вывести из базиса. Возьмем переменную

	5		15		15		10
15	0	10	15	0		20		11
25		12	0	7	15	9	10	20
5	5	0		14		10		18

Значение целевой функции при этом уменьшилось на величину

После перехода к новой транспортной таблице, возвращаемся к шагу 2 и проверяем условие оптимальности с помощью метода потенциалов. Можно считать потенциалы по транспортной таблице, не выписывая отдельно систему. Оценки для небазисных переменных так же можно записать сразу в таблицу (они выделены жирным шрифтом).

	V1=10		V2=0		V3=2		V4=13
U1=0	0 (-)	10	15(+)	0	-18	20	2	11
U2=7	х21(+)	12	0(-)	7	15	9	10	20
U3=-10	5	0	-24	14	-24	10	-15	18

Условие оптимальности снова не выполнено.

Находим переменную вводимую в базис. Это х₂₁, так как оценка 7 является наибольшей.

Построим замкнутый цикл и найдем переменную, выводимую из базиса. В ячейках, помеченных "-" обе переменные одинаковы и равны 0. Возьмем любую из них, например х₁₁.

Значение целевой функции не изменилось. Продолжим решать задачу и перейдем к новой транспортной таблице:

	V1=5		V2=0		V3=2		V4=13
U1=0	-5	10	1 5(-)	0	-18	20	х14(+)	11
U2=7	0	12	0(+)	7	15	9	10(-)	20
U3=-5	5	0	-19	14	-13	10	-10	18

Критерий оптимальности вновь не выполнен.

В качестве вводимой переменной выбреем х₁₄ , так оценка ячейки (1, 4) единственная положительная.

Построим замкнутый цикл, пометим ячейки смены направлений и выберем переменную, выводимую из базиса; ей будет х₂₄.

Значение целевой функции уменьшиться. Продолжим решать задачу и перейдем к новой транспортной таблице:

	V1=5		V2=0		V3=2		V4=11
U1=0	-5	10	15	0	-18	20	10	11
U2=7	0	12	0	7	15	9	-2	20
U3=-5	5	0	-19	14	-13	10	-12	18

Во вновь полученной таблице критерий оптимальности выполнен. Транспортная задача решена. Ответ можно записать в форме таблицы.

	5	15	15	10
15	х11=0	х12=15	х13=0	х14=10
25	х21=0	х22=0	х23=15	х24=0
5	х31=5	х32=0	х33=0	х34=0

Суммарная стоимость всех перевозок равна 315.

Примеры задач транспортной модели.

Модель производства за запасами

Рассмотрим применение транспортной модели в других социально-экономических сферах.

Пусть некоторая фирма переводит свой завод на производство определенного вида продукции, которая будет выпускаться в течение четырех месяцев. Планируемый спрос составит 100, 200, 180 и 300 единиц соответственно. В каждом месяце спрос может удовлетворяться за счет:

• избытка производства в предыдущих месяцах;

• производства в настоящее время;

• избытка производства в последующем периоде в счет невыполненных заказов.

Стоимость производства единицы продукции составляет $4. Изделие, произведенное ранее, влечет затраты на хранение $0,5 в месяц. Штраф за невыполненный заказ составляет $2,8 в месяц. Объем производства составит 50, 180, 280, 270 изделий соответственно.

Задача заключается в составлении плана реализации и хранения товара, имеющего минимальную стоимость.

Проведем аналог с транспортной задачей:

Таблица 14

Транспортная задача	Производство с запасами
1. Исходный пункт i	1. Период производства i
2. Пункт потребления j	2. Период реализации j
3. Предложение в пункте i (ai)	3. Объем производства в период i (ai)
4. Спрос в пункте j (bj)	4. Объем сбыта в период j (bj)
5. Стоимость перевозок сij	5. Стоимость производства и хранения сij

Стоимость производства и хранения с_ij в модели производства с запасами равна:

• затратам на производство в i-ом периоде (i=j);

• затратам на производство в i-ом периоде и затратам на хранений в j-i периодах (j>i);

• затратам на производство в i-ом периоде и штрафам в i-j периодах (j<i).

Составим транспортную таблицу задачи производства с запасами:

		Потребление
производство		100			200			180			300
	50	х11	4	х12		4,5	х13		5	х14		5,5
	180	х21	6	х22		4	х23		4,5	х24		5
	280	х31	8	х32		6	х33		4	х34		4,5
	270	х41	10	х42		8	х43		6	х44		4