Объективно обусловленные оценки и их смысл.

Компоненты оптимального решения двойственной задачи называются оптимальными (двойственными или объективно обусловленными) оценками исходной задачи.

Для выяснения смысла этих оценок вернемся к задаче, рассмотренной в примерах 11 и 12 и двойственной ей, решение которой рассмотрено в примере 15. Компоненты оптимальных решений этих задач даны в таблице 9.

Таблица 9

число единиц продукции		остатки ресурсов
p₁	p₂		S₁	S₂	S₃	S₄
x₁=6	x₂=4		x₃=0	x₄=0	x₅=1	x₆=3
y₅=0	y₆=0		y₁=4/5	y₂=3/5	y₃=0	y₄=0
превышение затрат на ресурсы над ценой ресурса		объективно обусловленные оценки ресурсов (условные цены ресурсов)

Дополнительные переменные исходной задачи х₃, х₄, х₅, х₆ представляют собой разность между запасами b_i ресурсов S₁, S₂, S₃, S₄ и их потреблением. Они выражают остатки ресурсов. А дополнительные переменные y₅, y₆ двойственной задачи представляют разность между затратами на ресурсы для производства из них единицы продукции и ценами с_i продукции Р₁, Р₂ и выражают превышение затрат над ценами.

Ресурсы S₁, S₂ при оптимальном производстве полностью расходуются и их объективно обусловленные оценки не нулевые: y₁=4/5, y₂=3/5. Ресурсы S₃, S₄ не полностью расходуются при оптимальном производстве и их объективно обусловленные оценки равны нулю y₃=0 и . y₄=0.

Таким образом, объективно обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов при оптимальному плану производства. У дефицитных ресурсов, которые используются полностью, объективно обусловленная оценка отлична от нуля, у недефицитных ресурсов, которые используются не полностью, равна нулю.

Рассмотрим превышение затрат на ресурсы над ценой ресурса. Если бы, например, y₆>0, то х₂=0, и из этого следовало бы, что продукцию Р₂ производить не выгодно, так как затраты на ресурсы превысили бы цену изготовляемой из них продукции. Следовательно, в оптимальный план производства могут попасть только рентабельные, неубыточные виды продукции.

Третья теорема двойственности: компоненты оптимального решения двойственной задачи равны значениям частных производных функции F_max(b₁,b₂,…b_m) по соответствующим аргументам

Двойственные оценки могут служить инструментом анализа и принятия правильных решений в условиях постоянно меняющегося производства. Так, например, с помощью объективно обусловленных оценок ресурсов возможно сопоставление оптимальных условий затрат и результатов производства.

Пример 16

В результате решения задачи примера 11 был получен оптимальный план выпуска Р₁ и Р₂. Но появилась возможность выпуска продукции Р₃. Затраты каждого ресурса S₁, S₂, S₃ и S₄ на выпуск этой продукции соответственно равны: a₁₃=3, a₂₃=2, a₃₃=4 и а₄₃=1. Прогнозируемая цена продукции с₃=3. Даст ли прибыль включение в план дополнительной продукции?

Рассмотрим оптимальные планы основной и двойственной задачX^*=(6;4;0;0;1;3) и Y^*=(4/5;3/5;0;0;0;0).

Сопоставим дополнительные затраты на ресурсы в расчете на единицу продукции Р₃ с ценой ее реализации:

a₁₃y₁^*+a₂₃y₂^*+a₃₃y₃^*+a₄₃y₄^*=3*4/5+2*3/5+4*0+1*0=3.6

Полученный результат больше, чем цена продукции с₃=3, поэтому, ее производство не является рентабельным. Что бы включение новой продукции в производство было выгодно, надо, чтобы ее цена была не менее 3,6.

Но объективно обусловленные оценки ресурсов не являются универсальными оценками. Они позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно маленьких изменениях ресурсов. При крупных изменениях меняются сами оценки, что делает невозможным использование оценок для анализа производства.

Задания.