Лекция 11. Теория двойственности.

План.

1. Экономическая интерпретация двойственной задачи.

2. Свойства взаимно-двойственных задач.

3. Алгоритм построения задачи двойственной к данной.

4. Теоремы двойственности.

5. Объективно-обусловленные оценки.

Рассмотрим две задачи линейного программирования:

Таблица 6

Задача 1 (исходная)	Задача 2 (двойственная)
Целевая функция: F=c1x1+ c2x2+…+ cnxnmax При ограничениях: И условиях неотрицательности x10, x20,… xn0 Составить такой план выпуска продукции Х=(х1, х2,…хn), при котором прибыль от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов	Целевая функция: Z=b1y1+ b2y2+…+ bmymmin При ограничениях: И условиях неотрицательности y10, y20,… ym0 Найти такой набор цен (оценок) ресурсов Y=(y1, y2,…yn), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальны при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли от реализации этой продукции

Переменные двойственной задачи y₁, y₂…y_m - это цены на ресурсы, которые называются учетными, неявными, теневыми. Смысл этих цен в том, что это условные "ненастоящие" цены, которые появились бы в том случае, если фирма, осуществляющая данный производственный процесс, вместо производства, решила бы продать имеющиеся ресурсы, причем таким образом, чтобы прибыль от их продажи была бы не меньше, чем прибыль от данного производственного процесса. А покупатель ресурсов, желал бы минимизировать затраты на покупку. В отличие от "внешних", заданных цен с₁, с₂…с_n на продукцию, известных до начала производства, цены ресурсов y₁, y₂…y_m считаются "внутренними", не известными до начала производственного процесса. Они определяются в процессе решения задачи. Их называют оценками ресурсов.

Свойства взаимно двойственных задач.

1. Одна из задач линейного программирования является задачей на максимум, другая - на минимум.

2. Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи.

3. В каждой задаче все ограничения неравенствами, причем в задаче на минимум все неравенства вида "", а в задаче на максимум - вида "".

4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обоих задач являются транспонированными по отношению друг к другу: А и А^т.

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных другой задачи.

6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Две задачи линейного программирования, обладающие этими свойствами называются симметричными взаимно двойственными (двойственными).

Алгоритм составления двойственных задач.

1. Приводим все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному символу (причем в задаче на максимум все ограничения должны быть "", а в задаче на минимум все ограничения должны быть "").

2. Составляем расширенную матрицу А₁, в которую включается матрица коэффициентов системы ограничений А, столбец свободных членов и строка коэффициентов при переменных в целевой функции.

3. Транспонируем полученную матрицу. Находим А₁^т.

4. На основе полученной матрицы А₁^т и условиях неотрицательности переменных формулируем двойственную задачу.

Пример 14

Составить задачу, двойственную к данной:

Так как задача на максимум, приведем ограничения к виду ""

Составим расширенную матрицу А₁

Транспонируем матрицу:

И сформулируем двойственную задачу:

Первая (основная) теорема двойственности: если оптимальное решение имеет одна из взаимно двойственных задач, то его имеет и другая задача, причем оптимальные значения их целевых функций равны: F_max=Z_min. Если область допустимых решений одной из задач неограниченна, то условия другой задачи противоречивы.

Замечание. Обратно не верно. Если условия одной задачи противоречивы, это не значит, что другая задача неограниченна.

Экономический смысл первой теоремы двойственности. План производства Х^*=(х^*₁, х₂^*,…х^*_n) и набор оценок ресурсов Y^*=(y^*₁, y₂^*,…y^*_m) оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль от продукции, найденная по "внешним", заранее известным ценам с₁, с₂,…с_n, равна затратам на ресурсы по "внутренним", определенным в процессе решения, ценам y₁, y₂,…y_m. Для всех других планов Х и Y прибыль всегда меньше (или равна) затратам на ресурсы. это значит предприятию безразлично производить ли продукцию по оптимальному плану X^* или продавать ресурсы по оптимальным ценам Y^*. Прибыль в этих двух случаях одинакова.

Связь между двумя взаимно двойственными задачами проявляется не только в равенстве оптимальных значений их целевых функций.

При решении каждой из взаимно двойственных задач симплекс-методом, их необходимо привести к каноническому виду. Для этого в первой задаче вводятся дополнительно m неотрицательных переменных х_n+i, где i=1,2,…m, а во второй задаче дополнительно вводятся n неотрицательных переменных y_m+j, где j=1,2,…n. Системы ограничений принимают вид:

Взаимосвязь между первоначальными и дополнительными переменными показана в таблице 7. Первоначальные переменные одной задачи соответствуют дополнительным переменным другой задачи.

Таблица 7

Переменные исходной задачи
Первоначальные переменные				Дополнительные переменные
x1	x2	…	xn	xn+1	xn+2	…	xn+m
ym+1	ym+2	…	ym+n	y1	y2	…	ym
Дополнительные переменные				Первоначальные переменные
Переменные двойственной задачи

Теорема: положительным (ненулевым) компонентам оптимального решения одной из взаимно двойственных задач соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой взаимно двойственной задачи, то есть для любых i выполнено: если х^*_j0, то y^*_m+i=0 и если х^*_j=0, то y^*_m+i0. Аналогично для любых j выполнено: если y^*_j0, то x^*_n+j=0 и если y^*_j=0, то x^*_n+j0.

Вторая теорема двойственности: компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных целевой функции исходной задачи, выраженной через неосновные переменные, ее оптимального решения.

Пример 15

Если в исходной задаче на последнем шаге выполнения симплекс-метода получили выражение целевой функции через неосновные переменные: F=24-4/5x₃-3/5x₄ и F(x^*)=24 – максимальное значение целевой функции, и оптимальное решение X^*=(6;4;0;0;1;3). тогда в двойственной задаче целевая функция будет иметь вид: z=24+y₃+3y₄+6y₅+4y₄, а z(x^*)=24 – минимальное значение целевой функции, оптимальным решением будет: Y^*=(4/5;3/5;0;0;0;0).

Соответствие между переменными для данной задачи приведено в таблице 8.

Таблица 8

Переменные исходной задачи
Первоначальные переменные		Дополнительные переменные
x1	x2	x3	x4	х5	x6
y5	y6	y1	y2	y3	y4
Дополнительные переменные		Первоначальные переменные
Переменные двойственной задачи

Замечание: Если в одной из двойственных задач нарушается единственность оптимального решения, то оптимальное решение двойственной задачи вырожденно.

Метод, при котором сначала составляется двойственная задача и она решается симплекс-методом, а затем оптимальное значение целевой функции и оптимальное решение исходной задачи находится с помощью теорем двойственности, называется двойственным симплекс-методом. Этот метод часто применяется, когда первое базисное решение недопустимо или m>n.