Алгоритм симплекс - метода:

1. После приведения системы ограничений к каноническому виду путем введения добавочных переменных, система уравнений записывается в виде, который называется расширенной системой (1). Предполагается, что все добавочные переменные имеют тот же знак, что и свободные члены.

2. Исходную расширенную систему заносим в первую симплекс таблицу. Последняя строка симплекс-таблицы, в которой приведены коэффициенты уравнения целевой функции, называется оценочной. В ней коэффициенты целевой функции записываются с противоположным знаком. В левый столбец таблицы вносятся базисные переменные (на первом шаге за базисные переменные берутся дополнительные переменные), в первой строке (шапке таблицы) перечисляются все переменные, которые есть в задаче, во второй столбец заносятся свободные члены расширенной системы b₁,…,b_m. Последний столбец подготовлен для оценочных отношений, необходимый при расчете, и на первом этапе он остается пустым. В рабочую часть таблицы, начиная с третьего столбца и второй строки, заносятся все коэффициенты при переменных расширенной системы a_ij. Далее таблица преобразуется по определенным правилам.

3. Проверяем выполнение критерия оптимальности (критерий оптимальности при решении задачи на максимум состоит в отсутствии отрицательных коэффициентов в оценочной строке). Если критерий оптимальности выполнен, то задача решена, максимум достигнут и оптимальное значение z равно с₀ (в левом нижнем углу таблицы). Базисные переменные принимают значения b_i, стоящие в столбце свободных членов, остальные переменные равны 0. Если критерий оптимальности не выполнен, переходим к шагу IV.

4. По оценочной строке выбираем переменную, вводимую в базис. Так как критерий оптимальности не выполнен, то в оценочной строке есть отрицательные коэффициенты. Находим из них наибольший по модулю. Соответствующая столбцу с выбранным коэффициентом переменная х_s будет вводится в базис, а сам столбец называется разрешающим.

5. Находим переменную, выводимую из базиса. Для этого составляем оценочные отношения (они заносятся в столбец для оценочных отношений) по следующим правилам:

   1. , если b_i и a_is имеют разные знаки;

   2. , если b_i=0 и a_is<0;

   3. , если a_is=0;

   4. 0, если b_i=0 и a_is>0;

   5. , если b_i и a_is имеют одинаковые знаки.

Определяем . Если конечного минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума ( в данном случае z_max=). Если минимум конечен, то выбираем строку q, на которой он достигается (если их несколько, то берем любую), и называем ее разрешающей строкой. Базисная переменная, соответствующая этой строке будет выводится из базиса.

На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент a_qs.

6. Для переходим к следующей симплекс-таблице воспользуемся преобразованием Гаусса-Жордана (правило прямоугольника):

   1. в первом столбце записываем новый базис: вместо выводимой базисной переменной – вводимую переменную x_s;

   2. в столбцах, соответствующих базисным переменным, проставляем нули и единицы: 1- на пересечении строки и столбца, соответствующих одной и той же базисной переменной; 0 – во всех остальных позициях столбцов базисных переменных;

   3. Новую строку q получаем из старой делением всех элементов строкина разрешающий элемент a_qs;

   4. все остальные элементы а_ij^' вычисляем по правилу:

(2)

Далее переходим к шагу III.

Пример 12

Решим задачу:

Приведем систему ограничений к каноническому виду и получим расширенную систему:

Для записи в симплекс-таблицу целевую функцию представим в виде z-2x₁-3x₂=0.

На первом шаге в качестве базисных переменных возьмем дополнительные переменные x₃, x₄, x₅, x₆.

Занесем данные в первую симплекс-таблицу:

Базис	Свободный член	Переменные							Оценочные отношения
		x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	18	1	3	1	0	0	0	18/3
x4	16	2	1	0	1	0	0	16
x5	5	0	1	0	0	1	0	5
x6	21	3	0	0	0	0	1	
z	0	-2	-3	0	0	0	0

Выполним проверяем критерия оптимальности задачи. В последней оценочной строке есть отрицательные коэффициенты. Выбираем из них наибольший по модулю. Это -3. Этому значению соответствует столбец х₂. Следовательно s=2, переменная является вводимой базис, а соответствующий ей столбец – разрешающим.

Найдем оценочные отношения (разделим элементы столбца свободных членов на соответствующие элементы столбца х₂). Выбираем из них минимальное это 5. Ему соответствует третья строка, следовательно, q=3, переменная х₅ является выводимой из базиса, а соответствующая ей строка – разрешающей. Разрешающим элементом будет a₃₂=1.

Переходим к новой симплекс-таблице:

1. в новом базисе основные переменные x₃, x₄, x₂, x_6, записываем их в первый столбец, причем переменные не упорядочиваются, вводимая переменная записывается на месте выводимой;

2. расставляем 0 и 1; например, на пересечении столбца и строки, соответствующих переменной х₃ ставим 1, а остальные элементы столбца х₃ равны 0 и так далее. Третья разрешающая строка получается из старой делением на разрешающий элемент а₃₂=1. Остальные ячейки таблицы заполняем по формулам (2). Например:

Получаем вторую симплекс таблицу:

Базис	Свободный член	Переменные						Оценочные отношения
		x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	3	1	0	1	0	-3	0	3
x4	11	2	0	0	1	-1	0	11/2
x2	5	0	1	0	0	1	0	
x6	21	3	0	0	0	0	1	7
z	15	-2	0	0	0	3	0

Проверяем критерий оптимальности для вновь построенной таблицы. Он вновь не выполнен. Поскольку отрицательный коэффициент в оценочной строке только один, его и выбираем. Ему соответствует переменная х₁. Она будет выводиться из базиса. А разрешающим будет первый столбец. Считаем оценочные отношения, определяем среди них минимум. Он равен 3, соответствующая строка– первая – разрешающая и выводимая из базиса переменная – х₃. Разрешающий элемент а₁₁.

Переходим к новой симплекс-таблице:

Базис	Свободный член	Переменные						Оценочные отношения
		x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	3	1	0	1	0	-3	0	
x4	5	0	0	-2	1	5	0	5/5
x2	5	0	1	0	0	1	0	5/1
x6	12	0	0	-3	0	9	1	12/9
z	21	0	0	2	0	-3	0

И на этот раз критерий оптимальности не выполнен.

Определяем выводимую переменную. Это х₄. Строим оценочные отношения и находим вводимую переменную – это х₅. Переходим к новой симплекс-таблице.

Базис	Свободный член	Переменные						Оценочные отношения
		x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	6	1	0	-1/5	3/5		0
x5	1	0	0	-2/5	1/5	1	0
x2	4	0	1	2/5	-1/5	0	0
x6	3	0	0	3/5	-9/5	0	1
z	24	0	0	4/5	3/5	0	0

В последней таблице критерий оптимальности выполнен, так как в последней строке нет отрицательных коэффициентов. Задача решена. Ответ задачи берем в первых двух столбцах. Максимальное значение целевой функции z_max=24 ( в последней строке). Соответствующие значения базисных переменных смотрим в столбце свободных членов. Все небазисные переменные равны 0. Получили оптимальное решение (6; 4; 0; 0; 1; 3).

Задачи.

Задачи из раздела графический метод решить симплекс-методом.

Задача № 2

Литература.

1. Исследование операций в экономике / п/р Н.Ш Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 407с.

2. Банди Б. Основы линейного программирования. – М.: Радио и связь, 1989.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Сов. радио, 1972.

4. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. – М.: Машиностроение, 1986.

Интернет – ресурсы:

1. Справочные материалы по высшей математике http://primat.at.ua

2. Электронные учебные пособия http://book.ru-deluxe.ru