3. Механізм складного нарахування процентів ( compound interest )

Розглянемо модельну задачу 2.

Умова модельної задачі 2 (умова – жирним шрифтом, пояснення до завдання - звичайним):

Ви вклали в комерційний банк 1000 грн. на строк 4 роки під 10% річних на умові щорічного складного нарахування процентів. Внесок (вклад) грошей на відкритий у банку на своє ім’я рахунок, має назву – депозитний вклад. Відкриття депозитного рахунку на умові щорічного складного нарахування процентів означає, що наприкінці кожного року Ви не будете одержувати в банку проценти. Ці проценти Ви будете залишати наприкінці кожного року на своєму рахунку, і на них будуть нараховуватися проценти таким же чином, як і на вкладені 1000 грн. Наприкінці четвертого року Вам повернуть Ваші 1000 грн., вкладені на початку першого року та проценти, нараховані за всі 4 роки. Потрібно знайти фактичну загальну суму грошей, що Ви одержите по закінченні чотирьох років.

Розв’язання модельної задачі 2

Розглянемо дану фінансову операцію за етапами:

етап 1: на початку першого року Ви поклали на депозит 1000 грн.;

етап 2: наприкінці першого року Ви маєте на депозитному рахунку 1100 грн.:

1000 грн. + 1000 грн. * 0,1 = 1000 грн. * (1+0,1) = 1100 грн.

100 грн. - Ваш процент за перший рік, який залишається в банку на Вашому депозитному рахунку. На початок другого року у Вас на депозитному рахунку вже 1100 грн.

етап 3: наприкінці другого року Ви маєте на депозитному рахунку 1210 грн.:

1100 грн. + 1100 грн. * 0,1 = 1100 грн. * (1+0,1) = 1210 грн.

Даний розрахунок можна провести інакше:

1000 грн. * (1+0,1) * (1+0,1) =1000 грн. * (1+0,1) ²=1000 грн. * 1,21 =1210 грн.

На початок третього року у Вас на депозитному рахунку вже 1210 грн.

етап 4: наприкінці третього року Ви маєте на депозитному рахунку 1331 грн.:

1210 грн. + 1210 грн. * 0,1 = 1210 грн.*(1+0,1) = 1331 грн.

Даний розрахунок можна провести інакше:

1000 грн. * (1+0,1) * (1+0,1) * (1+0,1) = 1000 грн. * (1+0,1) ³ = 1000 грн. * 1,331 = 1331 грн.

На початок четвертого року у Вас на депозитному рахунку вже 1331 грн.

етап 5: наприкінці четвертого року Ви маєте на депозитному рахунку 1464.1 грн.:

1331 грн. + 1331 грн. * 0.1 = 1331 грн.*(1+0,1) = 1464.1 грн.

Даний розрахунок можна провести інакше:

1000 грн. * (1+0,1) * (1+0,1) * (1+0,1) * (1+0,1) = 1000 грн. * (1+0,1) ⁴ = 1000 грн. * 1,4641 = 1464,1 грн.

Наприкінці четвертого року Ви одержите на руки 1464,1 грн.

Отже, на початку першого року Ви вклали 1000 грн., а по закінченні чотирьох років Ви одержали фактично 1464.1 грн., тобто Вам повернули вкладені Вами 1000 грн. і нарахували в кожному із чотирьох років проценти за складною схемою (нарахування відсотків на процент), що в сумі склало 464.1 грн. процентів.

МЕХАНІЗМ НАРАХУВАННЯ СКЛАДНИХ ПРОЦЕНТІВ МАЄ ЗА УМОВУ КАПІТАЛІЗАЦІЮ (зростання) ПРОЦЕНТІВ, ТОБТО БАЗА, ВІД ЯКОЇ ЙДЕ НАРАХУВАННЯ, ПОСТІЙНО ЗРОСТАЄ.

У модельній задачі 2 вкладені Вами на депозит 1000 грн. – це PV, отримані Вами фактично 1464,1 грн. – це FV, процентна ставка дорівнює 10% річних – це i, кількість разів ( кількість періодів ) нарахування процентів – це n.

З аналізу етапів модельної задачі 2 можемо записати формулу складного нарахування процентів:

, (6)

де: FV – майбутня вартість (дивися п. 1.1) у грош.од.;

PV – дійсна вартість (дивися п. 1.1) у грош..од.;

i – процентна ставка в частках (дивися п. 1.2) у кожному з періодів нарахування процентів n;

n – кількість періодів нарахування процентів, у кожному з яких процентна ставка дорівнює i.

Використовуючи (6), розв`язання модельної задачі 2 приймає вид:

Відповідь: фактична загальна сума грошей, що Ви одержите по закінченні чотирьох років буде FV = 1464,1 грн.

Як видно з модельних задач 1 і 2, різні схеми нарахування процентів призводять при однакових розмірах внеску (сума внеску - 1000 грн.) до зовсім різних кінцевих сум грошей. Схема простих процентів дає, у підсумку 1400 грн., а схема складних процентів - 1464,1 грн. Бачимо, що схема складних процентів дає більшу майбутню вартість.

При розрахунках фінансисти всього світу вважають за норму розраховувати майбутню вартість за складною схемою нарахування процентів, якщо інше не зумовлено окремо.

• ЗАПАМ'ЯТАЄТЕ: ЯКЩО В УМОВАХ НЕ ВКАЗАНО МЕХАНИЗМ НАРАХУВАННЯ ПРОЦЕНТІВ (СКЛАДНИЙ АБО ПРОСТИЙ), ТО ЗАВЖДИ РОЗРАХУНОК ВЕДЕТЬСЯ ЗА СКЛАДНОЮ СХЕМОЮ НАРАХУВАННЯ ПРОЦЕНТІВ.

Формули (5) і (6) використаються для розрахунків з використанням процентних ставок. Якщо ж необхідно виконати розрахунок з використанням облікових ставок то користуються формулами (7), (8).

Формула нарахування простих процентів при використанні облікової ставки:

(7)

де d -облікова ставка в кожному з періодів нарахування процентів n.

Значення символів PV, FV. n, – та ж, що й у формулі (5).

Формула нарахування складних процентів при використанні дисконтної ставки:

(8)

Значення символів PV, FV. n, d –та ж, що й у формулі (7)

• ЗАПАМ'ЯТАЙТЕ: ЯКЩО В УМОВАХ НЕ ЗАЗНАЧЕНО, ЯКУ СТАВКУ – ОБЛІКОВУ ЧИ ПРОЦЕНТНУ – ВИКОРИСТОВУВАТИ ПРИ РОЗРАХУНКАХ, ТО МАЄТЬСЯ НА УВАЗІ ВИКОРИСТАННЯ ПРОЦЕНТНОЇ СТАВКИ (формули (5), (6)).

Закріпимо отримані знання на прикладі розв’язання

наступних задач.