Транспортная задача линейного программирования

Одной из типичных задач линейного программирования является так называемая транспортная задача (ТЗ). Она возникает при планировании наиболее рациональных перевозок грузов. В одних случаях это означает определение такого плана перевозок, при котором стоимость последних была бы минимальна, а в других более важным является выигрыш во времени.

Первая задача получила название транспортной задачи по критериям стоимости, а вторая – транспортной задачи по критерию времени.

Первая задача является частным случаем ЗЛП, и может быть решена симплексным методом. Однако в силу особенностей этой задачи она решается проще.

Задачу (1)-(4) называют замкнутой или закрытой транспортной задачей (ТЗ).

В моделях оптимального планирования перевозок груза должно выполняться балансовое равенство:

т о есть суммарный запас груза должен равняться суммарным потребностям.

Если для ТЗ выполняется одно из условий:

то модель задачи называют открытой.

Д ля решения ТЗ с открытой моделью необходимо преобразовать ее в закрытую. Так, при выполнении первого условия открытая транспортная задача сводится к закрытой, если ввести фиктивный (n + 1)-ый пункт потребления, куда нужно перевести х_in+1 единиц продукта из i-го склада с нулевой стоимостью с_in+1=0, , причем

Тогда такая задача примет вид

А налогично при выполнении второго условия вводится фиктивный поставщик А _m+i , запас груза у которого равен с_m+1j=0, причем

Поэтому, считая с_ij > 0, можно рассматривать только замкнутые транспортные задачи типа (1)-(4).

Н етрудно показать, что условие баланса

необходимо и достаточно для разрешимости транспортной задачи (1)-(4).

Математическая формулировка ТЗ состоит в следующем:

Найти переменные задачи

х₁₁ х₁₂ . . . x_1n

X= х₂₁ х₂₂ . . . x_2n , (1)

… … … …

x_m1 х_m2 . . . x_mn

удовлетворяющие системе ограничений

х_i1 + x_i2 + … + x_in = a_i (i= 1, 2, …, m), (2)

х_1j + x_2j + … + x_nj = b_j (j= 1, 2, …, n), (3)

x_ij ≥ 0 (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (4)

и обеспечивающие минимум целевой функции

F(Х) = . (5)

Определения

1. Всякое неотрицательное решение системы линейных уравнений (2) и (3), определяемое матрицей (1), называется планом ТЗ

2. План X^* =[x^*_ij] (i = 1, 2, …, m; j =1, 2, …, n), при котором функция (4) принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом ТЗ.

3. Если , то ТЗ называется закрытой.

4. Если , то ТЗ называется открытой.

Свойства ТЗ

ТЗ (2) – (5) имеет оптимальное решение

1. тогда и только тогда, когда

, (6)

2. если в транспортной таблице 1 количество заполненных клеток равно m +n – 1 (m – число поставщиков, n – число потребителей).

Решение транспортной задачи (1)-(4) разбивается на два этапа:

1. Определение исходного базисного (опорного) решения.

2. Построение последовательности итераций, приводящих к оптимальному решению.