7. Симплексный метод решения злп
Графический метод непригоден для решения ЗЛП, у которых количество переменных n > 3. Решение таких задач требует применения аналитических методов. Для решения ЗЛП созданы специальные методы решения, одним из которых является симплекс-метод. Оптимальные решения задачи линейного программирования связаны с угловыми точками многогранника решений. Угловых точек может быть много, если много ограничений. Количество угловых точек соответствует количеству базисных решений. Для каждого базисного решения однозначно определяется значение целевой функции.
Н
еобходим
такой переход от одного базисного
решения к другому, в результате которого
новое решение приносило бы в задаче на
максимум большее значение целевой
функции, а в задаче на минимум — меньшее.
Данный процесс решения задачи реализует
симплекс-метод, который также называется
методом последовательного улучшения
плана. Процесс решения задачи продолжается
до получения оптимального плана либо
до установления факта отсутствия решений
задачи. Если ЗЛП
вырожденная, то при переходе от одного
базисного решения к другому значение
целевой функции может не измениться.
Переход от одного базисного решения к
другому называется итерацией
симплекс-метода.
Критерий разрешимости злп
Для того, чтобы задача линейного программирования была разрешима, т.е. имела оптимальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ограничения задачи были совместными и целевая функция была ограничена при поиске максимума сверху, а при поиске минимума — снизу
Симплекс-метод может быть интерпретирован геометрически как движение по соседним угловым точкам многогранника решений. Точки называются соседними, если они расположены на одном ребре. Например, если исходное базисное решение (исходный базисный план) соответствует угловой точке А, то следующий базисный план, полученный в процессе решения задачи симплекс-методом, будет соответствовать угловой точке Q, а оптимальный — угловой точке Н. Следовательно, количество итераций симплекс-метода зависит от выбора исходного базисного плана и количества угловых точек, встречающихся при движении от исходного плана к оптимальному. Основу алгоритма симплекс-метода составляет последовательность шагов, реализующая охарактеризованный выше переход от одного базисного плана к другому и приводящая либо к оптимальному решению, либо к выводу о том, что задача решения не имеет. Прежде чем решать ЗЛП симплекс-методом, ее необходимо привести к канонической форме. Перейдем к канонической форме с неотрицательными дополнительными переменными для ограничений, целевая функция которой должна быть максимизирована, а система ограничений представлена в виде уравнений. Для этого введем дополнительные неотрицательные переменные в левые части неравенств со знаками «+» или «-» в зависимости от знака неравенств.
После этого выделяют переменные, которые присутствуют только в одном уравнении с коэффициентом единица, и принимают их в качестве базисных. Если в ограничении такую переменную выделить нельзя, то вводят искусственную базисную переменную. Затем определяется исходный базисный план и значение целевой функции для этого плана.
Базисным (опорным) решением системы m линейных уравнений с n переменными называется решение, в котором все (n-m) неосновных переменных равны нулю. Базисное решение, в котором хотя бы одна из основных переменных равна нулю, называется вырожденным.
Если ЗЛП имеет оптимальное решение (в ограниченной области всегда, а в неограниченной области в зависимости от ограниченности линейной функции), то оно совпадает, по крайней мере, с одним из опорных решений системы ограничительных уравнений. Данная теорема утверждает, что если ЗЛП имеет оптимальное решение, то оно совпадает хотя бы с одной из вершин области допустимых решений. На основании этого можно предложить достаточно простой метод решения ЗЛП, который сводится к следующей принципиальной схеме:
необходимо найти все опорные решения (точки многогранника), множество которых является конечным;
вычислить для каждого из опорных решений значение целевой функции;
сравнить значения целевой функции в каждом из опорных решений и выбрать оптимальное.
Рассмотренная схема связана с простым перебором опорных решений, т е в этой схеме не принимается во внимание тот факт, насколько новое испытуемое опорное решение улучшает значение целевой функции и приближает нас к оптимальному решению. Если перебор опорных решений производить направленно, т.е. на каждом из шагов улучшая (или, по крайней мере, не ухудшая) значение целевой функции, то число перебираемых опорных решений можно резко сократить, что приводит к существенному сокращению числа шагов при отыскании оптимума целевой функции. При этом каждое последующее опорное решение выбирается таким образом, чтобы оно было лучше, (или не хуже) предыдущего. Идея симплекс-метода разработана русским ученым Л.В. Канторовичем в 1939 г. На основе этой идеи американский ученый Д. Данциг в 1949 г. разработал симплекс-метод, позволяющий решить любую ЗЛП. В настоящее время на основе этого метода разработан пакет программ, с применением которого решаются задачи линейного программирования.