8. Пример использования симплекс-метода для решения задачи линейного программирования

Рассмотрим конкретную задачу. Ее целевая функция имеет вид:

F = 2 х₁ + З х₂ → max

функциональные ограничения представляют собой систему неравенств:

х ₁ + З х ₂ ≤ 18

2 х ₁ + х ₂ ≤ 16

х ₂ ≤ 5

З х ₁ ≤ 21

прямые ограничения заданы неравенствами: х ₁ ≥ 0, х ₂ >0

Требуется найти решение данной задачи линейного программирования симплексным методом.

Приведем задачу к каноническому виду. Обратим имеющуюся систему функциональных неравенств в равенства, вводя для этого в каждое из них соответствующую неотрицательную переменную

х ₁ + 3 х ₂ + х ₃ = 18

2 х ₁ + х ₂ + х ₄ = 16

х ₂ + х ₅ = 5

3 х ₁ + х ₆ = 21

Все дополнительные переменные введены со знаком «+», т. к. рассматриваемые неравенства имеют знак « ≤ ». Для нахождения первоначального базисного решения разобьем переменные на две группы: основные и неосновные. Базисным решением системы m линейных уравнений с n переменными называют решение, в котором все (n-m) неосновных переменных равны нулю. В качестве основных переменных на первом шаге нужно выбрать такие переменные, каждая из которых входит только в одно уравнение системы ограничений, и при этом нет таких уравнений системы, в которые не входит ни одна из этих переменных. Количество основных переменных равно m. Если выбранные по этому правилу переменные имеют те же знаки, что и соответствующие им свободные члены в правых частях уравнений, то полученное таким образом базисное решение будет допустимым.

Шаг 1. Определим состав основных и неосновных переменных. В соответствии с вышеизложенным правилом:

• основные переменные: х_з, x₄, х₅, х₆;

• неосновные переменные: x₁, x₂.

Шаг 2. Теперь, используя систему равенств, выразим основные переменные через неосновные:

х₃=18- x₁- 3х₂ ;

х₄=16-2 x₁-х₂ ;

х₅=5-х₂;

х₆=21-3 х ₁.

Шаг 3. Положив неосновные переменные равными нулю, получим первое базисное решение:

Х¹=(х₁¹=0, х₂¹=0, х₃¹=18, х₄¹=16, x₅¹=5, x₆¹=21).

Шаг 4. Выразим целевую функцию через неосновные переменные и определим ее значение при выбранном базисном решении:

F¹=2x₁+3x₂=0.

Шаг 5. Проверим, доставляет ли выбранное базисное решение оптимум целевой функции F. Для этого воспользуемся критерием оптимальности решения при нахождении максимума целевой функции: если в выражении линейной функции через неосновные переменные отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных, то решение является оптимальным.

В соответствии с данным критерием исследуемое базисное решение не является оптимальным, следовательно, необходимо перейти к другому базисному решению.

Шаг 6. Сформулируем основное правило перехода к лучшему (не худшему) решению: в новый состав основных переменных вводится та из неосновных переменных, которая имеет наибольший положительный коэффициент в целевой функции. В данном случае это коэффициент при x₂.

Чтобы новое опорное решение, с одной стороны, улучшало (или не ухудшало) значение функции, а с другой — было бы опорным, необходимо определить:

• как должна измениться (увеличиться) переменная х₂, вошедшая в новый состав основных переменных;

• какая переменная из «бывших основных» должна перейти в новый состав неосновных переменных при переходе от одного (старого) базисного решения к другому — новому. Чтобы оценить, в каких пределах возможно изменение переменной х₂, необходимо определить, при каких значениях х₂ каждая из «старых» основных переменных останется неотрицательной (соблюдение этого условия и делает новое искомое решение допустимым).

Очевидно, что для этого должны выполняться следующие неравенства:

х₃=18 - х₁ - 3х₂ ≥ 0 х₂ ≤ 18/3

х₄=16 - 2х₁ - х₂ ≥ 0 х₂ ≤ 16 (1.1)

х₅=5 - х₂ ≥ 0 х₂ ≤ 5

х₆=21 - 3х₁ ≥ 0 х₂ — любое число

Каждое из неравенств системы (1.1) определяет возможные границы изменения переменной х₂. В частности, из последнего неравенства системы следует, что переводимая переменная может возрастать неограниченно, т.е. ее граница может быть обозначена как ∞.

Очевидно, что допустимость решения будет обеспечена только в том случае, если будут выполнены все ограничения системы (1.9.1). В свою очередь, это условие будет соблюдаться, если:

x₂=min{18/3; 16; 5; ∞} = 5.

При х₂=5 переменная х₅ обращается в 0 и переходит в разряд неосновных. Уравнение, где достигается наибольшее возможное значение переменной х₂, называется разрешающим. После проделанных преобразований вновь возвращаемся к первому шагу.

Шаг 1. Определяем состав основных и неосновных переменных:

• основные переменные — x₂,х₃,x₄,x₆;

• неосновные переменные — x₁,х₅.

Шаг 2. Выразим основные переменные через неосновные, воспользовавшись соотношением из разрешающего уравнения:

х₂ = 5 - х₅ х₂ = 5 - х₅

х₃ = 18- х₁ -3(5 - х₅) х₃ = 3-х₁-3х₅

х₄ = 16 - 2х₁ -(5 - х₅) х₄ = 11- 2х₁ + х₅

х₆=21-3х₁ х₆=21-3х₁

Шаг 3. Положив неосновные переменные равными нулю, получим новое базисное решение :

Х²=(х₁²=0, х₂²=5, х₃²=3, х₄²=11, х₅²=0, х₆²=21).

Шаг 4. Выразим целевую функцию через неосновные переменные, воспользовавшись соотношением из разрешающего уравнения, и определим ее значение при данном базисном решении:

F²=2x₁+3x₂=2x₁+3(5-x₅) = 2x₁+15-3x₅=15.

Шаг 5. Проверим, доставляет ли выбранное базисное решение оптимум целевой функции. Коэффициент при х₁ в выражении целевой функции положителен, следовательно данное базисное решение не доставляет оптимума целевой функции и необходимо искать новое базисное решение, которое улучшило бы (или, по крайней мере, не ухудшило бы) значение функционала.

Шаг 6. Используя сформулированное выше правило перехода к лучшему решению, введем в новый состав основных переменных х₁

х₂=5 - х₅ ≥ 0 х₁ — любое число

х₃=3 - х₁ + 3х₅ ≥ 0 х₁ ≤ 3

х₄=11 - 2х₁ + х₅ ≥ 0 х₁ ≤ 11/2

х₆=21 - 3х₁ ≥ 0 х₁ ≤ 21/3

x₁=min{∞; 3; 11/2; 21/3} = 3.

Из разрешающего уравнения следует, что если х₁=3, то х₃=0, следовательно, можно опять вернуться к первому шагу.

Шаг 1. Определим новый состав основных и неосновных переменных:

• основные переменные: х₁, х₂, х₄, х₆

• неосновные переменные: х₃, х₅.

Шаг 2. Выразим основные переменные через неосновные, воспользовавшись соотношением из разрешающего уравнения:

х₁=3 - х₃ + 3х₅ х₁=3- х₃+3х₅

х₂ =5 - х₅ х₂ =5-х₅

х₄=11 - 2(3 - х₃ + 3х₅) + х₅ х₄= 5+2х₃-5х₅

х₆=21 - 3(3 - х₃ + 3х₅) = 21 – 9 + 3х₃ - 9 х₅ х₆=12+3х₃-9х₅

Шаг 3. Положив неосновные переменные равными нулю, получим новое базисное решение:

Х³=(х₁³=3, x³₂=5, х₃³=0, х₄³=5, х₅³=0, х₆³=12).

Шаг 4. Выразим целевую функцию через неосновные переменные и определим ее значение при данном базисном решении:

F³ = 2x₁ + 3x₂=2(3 - х₃ + 3x₅) + 3(5 - x₅) = 21 - 2x₃ + 3x₅ = 21.

Шаг 5. Проверим критерий оптимальности: он опять не выполняется, так как коэффициент при х₅ положителен.

Шаг 6. Вновь используя сформированное выше правило перехода к лучшему решению, введем в новый состав основных переменных х_5.

Определим допустимое изменение х₅ и разрешающее уравнение:

х₁=3 - х₃ + 3х₅ ≥ 0 х₅ ≥ -1

х₂ =5 - х₅ ≥ 0 х₅ ≤ 5

х₄ = 5 + 2 х₃ - 5 х₅ ≥ 0 х₅ ≤ 5/5

х₆= 12+3 х₃-9 х₅ ≥0 х₅ ≤ 12/9

x₅=min{0,5,5/5,12/9}=l

Из разрешающего уравнения следует, что при х₅=1 х₄ = 0, следовательно х₄ переходит в состав неосновных переменых. Вновь возвращаемся к первому шагу.

Шаг 1. Определяем новый состав переменных:

• основные переменные: х₁, х₂, х₅, х₆,

• неосновные переменные: х₃, х_4.

Шаг 2. Выразим основные переменные через неосновные. Воспользовавшись разрешающим уравнением х₄=5+2х₃-5х₅,

получаем:

х₅= 1+2/5х₃-1/5x₄

x₁=3-x₃+3(1+2/5х₃-1/5х₄)

х₂=5-1-2/5х₃+1/5x₄

х₆= 12+Зх₃-9( 1 +2/5х₃-1 /5х₄)

или после преобразования:

x₁=6+l/5x₃-3/5x₄

х₂=4-2/5х₃+1/5х₄

х₅=1+2/5х₃-1/5х₄

х₆=3-3/5х₃+9/5х₄.

Шаг 3. Положив неосновные переменные равными нулю, получим новое базисное решение:

.Х⁴=( x₁⁴=6, х₂⁴=4, х₃⁴=0, х₄⁴=0, х₅⁴=1, х₆⁴=3).

Шаг 4. Выразим целевую функцию через неосновные переменные и определим ее значение при данном базисном решении:

F⁴₌2x₁₊3x₂=2(6+l/5x₃-3/5x₄) + 3(4-2/5x₃+l/5x₄)=24-4/5x₃-3/5x₄=24

Шаг 5. Используя критерий оптимальности, приходим к выводу, что на этот раз он выполняется и что исследуемое базисное решение является оптимальным

Данный пример показывает, что за определенное количество итераций, каждая из которых содержит определенное число шагов, в задаче линейного программирования может быть найдено оптимальное решение.