Задача составления рациона

При откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 единиц питательного вещества S _l, не менее 8 единиц вещества S₂ и не менее 12 единиц вещества S₃. Для составления рациона используется два вида корма. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и стоимость 1 кг корма приведены в таблице:

Питательные вещества	Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма
	Корм 1	Корм 2
S l	3	1
S2	1	2
S3.	1	6
Стоимость 1 кг корма	4	6

Необходимо составить дневной рацион нужной питательности, причем затраты на него должны быть минимальны. Обозначим x_l и x₂ соответственно количество килограммов корма 1 и корма 2 в дневном рационе.

Получим систему ограничений

3 х₁+ х₂  9

х₁ + 2х₂  8 ,

х₁ + 6х₂  12

х₁  0, х₂  0.

Цель задачи: общая стоимость рациона F = 4 х₁ + 6х₂ должна быть минимальной.

Задачу составления рациона можно обобщить, если предусмотреть в рационе т видов питательных веществ в количестве не менее b_i (i = 1, ..., т) единиц и использовать n видов кормов.

Обозначим a_ij (i = 1, ..., т; j = 1, ..., n) количество единиц i-того питательного вещества, содержащегося в единице j-того корма, С_j — стоимость единицы j-того корма, х _j — количество единиц j-того корма в дневном рационе.

Тогда необходимо найти минимум линейной функции

F = C₁ x_l +… + C_n х_n

при ограничениях

a _llx_l + a₁₂x₂+... + a_lnx_n  b₁

a_2lx_l + а₂₂х₂ +... + а_2nх_n  b₂

_{…………………………………………….}

a_m1 x_l + а_m2х₂ +... + а_mnх_n  b_m

х_j  0. (j= 1, ..., n)

b_i  0(i = l, ..., m)

Если бы требовалось, чтобы в процессе производства (для первой задачи) какой-то ресурс использовался полностью или в дневном рационе (во второй задаче) должно содержаться точное количество единиц какого-то питательного вещества, то ограничения были бы выражены в форме уравнений, а не неравенств.

5. Формы задачи линейного программирования (злп)

Различают три основные формы задачи линейного программирования, к которым может быть сведена любая содержательная постановка задачи. Записи целевых функций и ограничений в них существенно различаются. Ограничения могут иметь вид неравенств или равенств. Существует также ряд практических задач, в которых часть ограничений представлена в виде равенств, а часть — в виде неравенств.

Общая форма задачи линейного программирования (злп)

Задана система m линейных уравнений с n переменными:

a _llx₁+a₁₂x₂+... + a_1nx_n ≤ b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+ + a_2nx_n ≤ b₂ (1.5.1)

………………………….

а_k1х₁+а_k2х₂+... + а_knх_n ≤ b_k

а_k+1,1х₁+а_k+1,2х₂+... + а_k+1,nх_n = b_k+1

_{…………………………………………}

a_m1х₁+а_m2х₂+... + а_mnх_n = b_m

х _j ≥ 0, где j = 1,…,n (1.5.2)

а линейная функция: F = (c₁ х₁ + c₂ х₂ + c₃ х₃ +…..+ c_n х_n) → max(min). (1.5.3)

Необходимо найти такой вектор Х=( х_1, х₂, х_{3,… ,} х_n), который удовлетворяет ограничениям (1.5.1) и (1.5.2) и при котором линейная функции F принимает максимальное (или минимальное) значение.

Как видно из представленной выше записи, в общей форме задачи линейного программирования система ограничений (1.5.1) включает в себя как равенства, так и неравенства, а целевая функция может стремиться как к максимуму, так и к минимуму.

Более кратко задачу линейного программирования в общей форме можно представить в следующем виде:

—>max(min) (1.5.4)

, где i=1,…,k (1.5.5)

, где i=k+l,...m) (1.5.6)

х _j ≥ 0, где j = 1,…,n (1.5.7)

Оптимальным решением (или оптимальным планом) задачи линейного программирования называется решение Х*=(х*₁, х*₂...х_n), удовлетворяющее системам ограничений (1.5.5) — (1.5.7), при которых линейная функция F достигает оптимального значение (минимума или максимума).

Стандартная форма задачи линейного программирования (ЗЛП)

Задача линейного программирования, представленная в форме:

a _llx₁+a₁₂x₂+... + a_1nx_n ≤ b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+ + a_2nx_n ≤ b₂ (1.5.8)

_{…………………………………………}

a_m1х₁+а_m2х₂+... + а_mnх_n ≤ b_m

х _j ≥ 0, где j=1,…,n (1.5.9)

при которой целевая функция достигла бы своего max(min) значения:

F = (c₁ х₁ + c₂ х₂ + c₃ х₃ +…..+ c_n х_n) → max(min) (1.5.10)

называется стандартной формой задачи линейного программирования.

Особенность данной формы состоит в том, что в ней система как функциональных, так и прямых ограничений состоит из одних неравенств, переменные х _j, где j=l,...,n являются неотрицательными, а целевая функция может стремиться как к минимуму, так и к максимуму.

Каноническая форма задачи линейного программирования (ЗЛП)

Форма, в которой:

F = (c₁ х₁ + c₂ х₂ + c₃ х₃ +…..+ c_n х_n) → max (1.5.11)

a _llx₁+a₁₂x₂+... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+ + a_2nx_n = b₂ (1.5.13)

а₃₁х₁+а₃₂х₂+... + а_зnх_n = b₃

_{…………………………………………}

a_m1х₁+а_m2х₂+... + а_mnх_n = b_m

х _j ≥ 0, где j = 1,…,n (1.5.13)

все переменные х _j — неотрицательны, система ограничений представляет собой систему уравнений, а целевая функция стремится к максимуму, называется канонической формой задачи линейного программирования.

Переход от стандартной и общей форм ЗЛП к канонической

Разнообразие форм задач линейного программирования затрудняет исследование их общих особенностей и создание общих методов и вычислительных алгоритмов для их решения. Рассмотрим способ сведения любой ЗЛП к наиболее простой и удобной для исследования форме — канонической.

Для осуществления перехода от стандартной формы записи к канонической нужно в каждое из m неравенств системы ограничений ввести m дополнительных неотрицательных переменных: x_n+1, x_n+2,…, x_n+m, тогда система ограничений примет вид:

a _llx₁+a₁₂x₂+... + a_1nx_n+ x_n+1 = b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+ + a_2nx_n + x_n+2 = b₂ (1.5.14)

а₃₁х₁+а₃₂х₂+... + а_зnх_n + x_n+3 = b₃

_{…………………………………………}

a_m1х₁+а_m2х₂+... + а_mnх_n+ x_n+m = b_m

здесь x_n+1, x_n+2, x_n+3, …, x_n+m— выравнивающие балансовые переменные, где x_j ≥0, где (j = l,...,n+m). Добавив эти балансовые переменные в неравенства, превращаем их в уравнения. Если же в стандартной форме требовалось минимизировать целевую функцию, то, заменив ее знак на «-», получим:

F₁ = F = -c₁ х₁ - c₂ х₂ - c₃ х₃ -…..- c_n х_n → max (1.5.15)

Для решения этой задачи необходимо найти такой вектор Х=( x₁, x₂, x₃, …, x_m), который удовлетворял бы системе ограничений (1.5.14) и при котором целевая функция (1.5.15) принимала бы максимальное значение.

Пример

Пусть ЗЛП задана в стандартной форме:

F = 2х₁ + Зх₂ → max

при ограничениях:

х ₁+Зх₂≤18

2x₁+x₂≤16

х₂≤5

Зх₁ ≤21

x₁≥0; х₂≥0.

Приведем эту задачу к каноническому виду. О братим имеющуюся систему неравенств в равенства, вводя для этого в каждое из них соответствующую неотрицательную переменную:

x₁ +3х₂ +х₃ =18

2х₁ +х₂ + х₄ =16

х₂ +х₅ =5

Зх₁+х₆=21.

В данном примере все дополнительные переменные введены со знаком «+», так как рассматриваемые неравенства имеют знак ≤. Необходимо заметить, что в том случае, если неравенства имели бы знак ≥, переменные нужно было бы вводить со знаком «-».