Лекция 1-2013

Математическое программирование

Математическое программирование (МП) – это наука, посвященная решению задач, связанных с нахождением экстремумов функций нескольких переменных при наличии ограничений на переменные. Методами математического программирования решаются задачи о распределении ресурсов, планировании выпуска продукции, ценообразовании, транспортные задачи и т.п. В результате решения задач МП находится в общем случае максимум (или минимум) функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой системе уравнений и неравенств. Задачи МП делятся на задачи линейного программирования (ЛП) и нелинейного программирования (НЛП). ЛП — это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Наиболее изученным разделом МП является ЛП. Для решения ЗЛП разработаны эффективные методы, алгоритмы и программы.

1. Понятие модели

Модель — это условный образ объекта, формирующий представление о нем в некоторой форме, отличной от реального существования данного объекта.

Модель какого-либо объекта отображает его основные характеристические свойства в некоторой абстрактной форме. Модель может служить для достижения различных целей:

• познавания объекта или системы;

• прогнозирования поведения объекта;

• принятия наилучших решений для достижения объектом поставленной перед ним цели.

Поэтому модель должна отражать только те аспекты объекта или системы, которые соответствуют цели исследования. Модели могут принимать различные формы, но наиболее полезной и общеупотребительной из них является математическая форма.

2. Математическая модель экономического объекта — это его отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений.

Для построения экономико-математической модели используется следующий алгоритм:

1. Формируются предмет и цели исследования.

1. В рассматриваемой экономической системе выделяются определенные элементы, соответствующие данной цели исследования, а также наиболее важные характеристики этих элементов.

2. Словесно описываются взаимосвязи между элементами модели.

3. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта и формируются, насколько возможно, взаимосвязи между ними.

4. По данной модели проводятся расчеты и анализ полученного решения.

Одними из наиболее распространенных моделей являются оптимизационные, как правило используемые на микроуровне (т.е. данные задачи используются чаще всего субъектами рынка: фирмами, корпорациями и т.д.).

3. Оптимизационные модели

Отличительные признаки оптимизационных моделей:

• наличие одного или нескольких критериев оптимальности (критерий оптимальности — это признак, по которому одно (или множество) решений задачи признается наилучшим); наиболее типичными критериями в экономических оптимизационных задачах являются: максимум дохода или прибыли, минимум издержек, минимальное время для выполнения задания;

• система ограничений, формируемая исходя из содержательной постановки задачи и представляющая собой систему уравнений или неравенств.

Математически эти задачи относятся к задачам на условный экстремум. Постановка таких задач, представленных в общем виде, выглядит следующим образом:

• найти условный максимум (или минимум) функции

Y = f(x₁, x₂,... ,x_n) → max(min), (1.3.1)

• при условии, что независимые переменные удовлетворяют ограничениям:

G(x₁, x₂,... , x_n) = 0. (1.3.2).

В задаче на экстремум функцию Y=f(x₁, x₂..., х_n) называют целевой, так как ее максимизация или минимизация есть формальное выражение цели (например, максимизация объема производства при фиксированных затратах).

Функцию G называют функцией, задающей ограничения. Если в задаче на экстремум ограничения в виде системы уравнений G(x₁ x₂ ..... х_n) = 0 заменить на ограничения в виде неравенств и добавить ограничения в виде неотрицательности переменных X₁ ≥ 0, X₂ ≥ 0,... X_n ≥ 0, то получим задачу математического программирования, в которой необходимо:

• найти максимум (или минимум) функции

f(x_1, x_2, ...,x_n) → max(min) (1.3.3)

• при условии, что независимые переменные удовлетворяют системам ограничений:

g ₁(x_1, x_2, ...,x_n) ≤ 0

……………………………. (1.3.4)

g_m(x_1, x_2, ...,x_n) ≤ 0

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0,...,x_n ≥ 0. (1.3.5)

В задаче математического программирования функцию f(X₁, X₂..., X_n) также называют целевой функцией; систему неравенств (1.3.4) — специальными ограничениями задачи математического программирования, а неравенства (1.3.5) — общими ограничениями задачи линейного программирования