1. Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности. (определение Мандельброта).

Теория автоволновых процессов.

Распространение понятий равновесной термодинамики на состояния, далекие от равновесия, и, в частности, принцип эволюции Гленсдорфа-Пригожина вызвали критику со стороны «синергетиков». Так, Ландауэр построил контрпример, показывающий, что никакая функция состояния, в том числе и энтропия, не может быть положена в основу критерия устойчивости состояния, как это сделано в принципе эволюции Гленсдорфа-Пригожина [2]. Отечественна школа нелинейных колебаний и волн, основоположником которой по праву считается Л. И. Мандельштам [14], рассматривает общую теорию структур в неравновесных средах как естественное развитие и обобщение на распределенные системы идей и подхода классической теории нелинейных колебаний [15]. Еще в ЗО-х годах Л. И. Мандельштам сформулировал программу выработки «нелинейной культуры, включающей надежный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах» [16].

Разработанная почти полвека назад, эта программа становится особенно актуальной в наши дни существенной «делинеаризации» всей науки. Без наглядных и емких физических образов, адекватных используемому аппарату, немыслимо построение общей теории структур, теории существенно нелинейной. Вооружая физика концентрированным опытом предшественников, эти образы позволяют ему преодолевать трудности, перед которыми заведомо мог бы спасовать исследователь, полагающийся только на свои силы. В этом отношении физические образы Л. И. Мандельштама представляют собой глубокую аналогию со структурным подходом Э. Нётер, научившей математиков за конкретными деталями задачи различать контуры общей схемы - математической структуры, задаваемой аксиоматически. Суть структурного подхода, сформулированного Н. Бурбаки, звучит как парафраза мандельштамовской программы создания нелинейной культуры: «Структуры» являются орудиями математика; каждый раз, когда он замечает, что между элементами, изучаемыми им, имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он должен был бы мучительно выковывать сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы» [17].

Следуя Р.В. Хохлову, возникновение волн и структур, вызванное потерей устойчивости однородного равновесного состояния, иногда называют автоволновыми процессами (по аналогии с автоколебаниями) [ 15, 18]. На первый план здесь выступает волновой характер образования структур: независимость их характерных пространственных и временных размеров от начальных условий (выход на промежуточную асимптотику [19]), а в некоторых случаях - от краевых условий и геометрических размеров системы.

Математические закономерности процессов горения и теплопроводности (диффузии) – это одна из наиболее распространенных на современном этапе моделей, претендующая на объяснение многих парадоксальных процессов самоорганизации. Последние связаны, прежде всего, с возникновением на активной (горючей) среде локализованных (несмотря на наличие теплопроводности) очагов горения (химических реакций) – диссипативных структур. Кроме того, огонь (или горение) можно рассматривать в качестве типичного процесса, который может самовозобновляться, саморегулироваться и увеличиваться с драматической быстротой.

Расширение областей исследования больших неравновесных систем привело в последние десятилетия к открытию в них устойчивых состояний, их стали называть «странные аттракторы». Причем примеры областей, в которых обнаружены странные аттракторы, постоянно расширяются – это тепловая конвекция (собственно, именно тот странный аттрактор Э. Лоренца, с которого в 1963 г. и начались данные исследования), некоторые типы волн в плазме, генерация излучения лазера в некотором диапазоне параметров, движения некоторых небесных тел (например астероидов), смена знаков магнитных полюсов Земли, погода и долговременные климатические изменения, многие химические и биохимические реакции в открытых системах, колебания численности биологических популяций, активность головного мозга в состоянии глубокого сна, определяемая по электроэнцефалограмме и так далее.

С возникновением неравновесной термодинамики и теории «Большого Взрыва», равно как и космологии с многократно повторяющимися циклами, статистическая необратимость, бывшая до того достоянием биологических наук, вошла в физические науки. Необратимость была обнаружена и в социальных науках, прежде всего в истории и психологии.

Развитие нашего общества в начале нового столетия существенно зависит от развития науки и технологии. Процесс в области науки управляется сложной динамикой научных идей и исследовательских групп, включенных в сложную сеть человеческих цивилизаций. Общие темы исследователей привлекают интерес к возможности исследований на более или менее продолжительный период времени. Такие «аттракторы» доминируют в деятельности ученых так же, как аттракторы и вихри в динамике жидкости. Когда состояния исследований становятся неустойчивыми, исследовательские группы разбиваются на подгруппы, следуя выбранным направлениям исследования. Такое дробление может завершиться решением проблемы, а может снова и снова претерпевать дальнейшие бифуркации. Прогресс в науке реализуется как фазовые переходы на дереве бифуркаций со всевозрастающей сложностью. Иногда научные проблемы бывают четко определены и приводят к столь же четким решениям, но встречаются также «странные», или «расплывчатые», состояния, аналогичные странным аттракторам в теории хаоса.

Теория сложных нелинейных систем стала успешным подходом к решению проблем в естественных науках: от физики лазеров и твердого тела, химии и метеорологии до моделей биологического, нейронного и экологического развития. Во всех этих случаях самоорганизация означает четко определенный фазовый переход, происходящий в условиях теплового равновесия, вблизи или вдали от него. С другой стороны, специалисты, работающие в области социальных и экономических наук, политики и гуманитарных наук, сознают, что основные проблемы человечества также отличаются глобальностью, сложностью и нелинейностью. Применение самоорганизации к социоэкономическим процессам отнюдь не означает какой-либо разновидности «социальной физики» или скользких аналогий между социальными и физическими науками. Таким образом, приложения самоорганизации имеют своей целью создание математических моделей с нелинейной динамикой и хорошо определенными социоэкономическими параметрами – моделей, призванных помочь в решении сложных проблем организации, прогнозирования и принятия решений. Иногда утверждают, что эти методы являются предвестниками новых наук о сложности. Сложные проблемы науки, политики и цивилизации требуют новых стандартов этического поведения.

Ошибочно полагать, что процессы физической, биологической и даже социокультурной эволюции подчиняются принципиально различным законам. Одни и те же фундаментальные законы, функционирующие в качестве природных алгоритмов, могли создать интерактивную динамику, на базе которой во Вселенной начала бы строиться сложность – от уровня элементарных частиц до живых организмов и далее к сообществам организмов.

Парадигма самоорганизации влечет за собой, как показывают И. Пригожин и И. Стингерс, новый диалог человека с природой. Главная проблема заключается в том, как управлять не управляя, как малым резонансным воздействиям подтолкнуть систему на один из собственных и благоприятных для субъекта путей развития, как обеспечить самоуправляемое и самоподдерживаемое развитие. Проблема также в том, как преодолевать хаос, не преодолевая его, а делая симпатичным, творческим, превращая в поле, рождающее искры инноваций.

Различные по своей природе линейные процессы описываются одинаковыми линейными дифференциальными уравнениями. Вместе с тем в физике все большее внимание привлекают такие реальные процессы и системы, для описания которых уже недостаточно линейных уравнений, требуется учет нелинейности. Как известно, нелинейными являются системы, свойства которых зависят от происходящих в них процессов.

Поведение нелинейных физических систем принципиально отличается от поведения линейных. Наиболее характерным отличием является нарушение в них принципа суперпозиции. В нелинейных системах результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия последнего.

Математические исследования природы линейности и нелинейности так или иначе обусловливались потребностями физики, особенно нелинейной теории колебаний.

А.А. Андронову и Л.И. Мандельштаму принадлежит здесь целый ряд важных математических идей и разработок. Роль Л.И. Мандельштама состоит в том, что он отчетливо понял всеобщность нелинейных явлений, сумел увидеть, что возможности линейной теории принципиально ограничены, что за их пределами лежит огромный круг явлений, требующих разработки нелинейных методов анализа.

Возникает вопрос, какова роль нелинейности, зачем разрабатывать нелинейные модели, если большое количество физических процессов можно объяснить с помощью линейных моделей или даже свести нелинейные задачи к линейным. Ответ на этот вопрос состоит в следующем: линейные задачи рассматривают лишь рост, течение процессов, нелинейность же описывает фазу их стабилизации, возможность существования нескольких типов структур, то есть сочетание линейности и нелинейности дает более адекватное отражение реальных процессов, так как с их помощью выражается единство устойчивости и изменчивости, являющихся ядром сущности всякого движения.

Учет нелинейности оказывается существенным и при описании турбулентного движения. До сих пор нет общепринятого взгляда на природу турбулентности. Широко распространены две точки зрения. С одной стороны, турбулентность возникает как результат случайных процессов, отражающихся в уравнениях термодинамики, а с другой – причину ее возникновения можно объяснить за счет введения других сил, например флуктуирующих процессов.

Представления о линейности и нелинейности являются определенным отражением материального единства мира и способствуют синтезу научных знаний о различных областях материального мира. Совместно с философскими категориями общенаучные понятия линейности и нелинейности способствуют объединению результатов различных наук в целостное знание.

10.3. Роль синергетического познания в проблеме двух культур

Синергетическое познание имеет новый образ, новую парадигму, которую несет в себе современная наука, вступающая в принципиально новый «постнеклассический», «бифуркационный» этап своего развития. Пока сам термин «синергетическое познание» носит условный смысл, так как происходит становление науки с не принятым еще всеми названием. В синергетике (равно как и в «теории диссипативных структур» по Пригожину) как новом междисциплинарном направлении сфокусированы главные, ключевые особенности парадигмы постнеклассической науки, обусловленные, прежде всего, присущей ей нелинейным стилем мышления, плюрализмом, неоднозначностью теоретических представлений и формулировок, наконец, новым пониманием роли хаоса в мироздании как его необходимого конструктивного начала, как необходимый созидательный момент общей картины становящейся, самоорганизующейся реальности. Необходимо усвоить не только нелинейное мышление, но, главное, в контексте синергетического познания понять, что «порядок и беспорядок представляются не как противоположности, а как то, что неотделимо друг от друга» (И. Пригожин).

Мир синергетики – это мир, в котором жизнь и человек существуют не случайно, а антропный принцип выступает в качестве фактически центрального интегрального принципа самоорганизации.

Жизнь и человек не случайны потому, что в этом мире есть место хаосу – этому универсальному «клею» эволюции, хаосу – особому чувствительному состоянию системы к самым слабым флуктуациям. Открытие хаоса в современном научном естествознании – это открытие временного горизонта принципиальной непредсказуемости многих будущих событий.

Однако наше осознание занять атемпоральную (вневременную) точку зрения только еще начинается, нам сильно мешает не только декартово-ньютоновская классическая парадигма, но и язык, и многое другое, связанное с особенностями развития западной культуры. Проблема оказывается в самом человеке, в сопряженности его внешнего и внутреннего опыта.

Это позволяет говорить о синергетике нескольких порядков. Синергетика первого порядка – это синергетика наблюдаемых систем, синергетика второго порядка – это синергетика наблюдающих систем, находящихся в отношении дополнительности друг к другу. Возникающий диалог между ними через посредство ряда основополагающих принципов ведет к концепции общего синергетического гиперпространства становящегося бытия и его познания.

Осмысление (точнее, освоение) этого гиперпространства с необходимостью ведет к синергетике третьего порядка – синергетике человека со своим внутренним языковым пространством исследовательского поиска подлинно личностных и эволюционных оснований человеческого бытия.

10.4. Глобальный эволюционизм

Одна из важнейших современных идей западной цивилизации – идея целостного развития мира. Впервые зародившись в XVIII веке в биологии, окрепнув в XIX столетии, благодаря Дарвину и его последователям, эволюционные идеи последовательно охватили геологию и социологию и никак не могли пробить себе дорогу в науках физико-химического цикла вплоть до середины XX века. Во все эти предшествующие годы в них господствовала исходная абстракция закрытой обратимой системы, в которой фактор времени не играет роли (вспомните упоминавшееся «вневременное время» классической физики). Даже в неклассической (релятивистской и квантовой) физике ничего не изменилось к лучшему: безвременье торжествовало. Первые ростки развития физических систем возникли в термодинамике: сначала появилось понятие энтропии, затем представление о необратимых термодинамических процессах, зависящих от времени. Как говорится, лед тронулся. В физику проникла «стрела времени», но до открытости систем дело еще не доходило. Эволюционные идеи в разных науках развивались изолированно друг от друга, не было стержневой, объединяющей идеи универсальной эволюции в космогенезе, геогенезе, биогенезе, антропосоциогенезе. Но такая концепция все-таки появилась и имеет название глобальный эволюционизм.

В этой концепции Вселенная предстает как развивающееся во времени природное целое, а вся история Вселенной от «Большого Взрыва» до возникновения человечества рассматривается как единый процесс, в котором космический, химический, биологический и социальный типы эволюции преемственно и генетически связаны между собой. Космохимия, геохимия, биохимия отражают здесь фундаментальные переходы в эволюции молекулярных систем и неизбежности их превращения в органическую материю.

В концепции глобального эволюционизма подчеркивается важнейшая закономерность – направленность развития мирового целого на повышение своей структурной организации, в которой все предстает как единый процесс материальной эволюции, самоорганизации, саморазвития. Также в этой концепции важны идеи отбора и подробно рассмотренный нами ранее антропный принцип. Согласно этому принципу существует некоторый тип универсальных системных связей, определяющих целостный характер существования и развития нашей Вселенной, нашего мира как определенного системно-организованного фрагмента бесконечно многообразной материальной природы.

В настоящее время идея глобального эволюционизма – это не только констатирующее положение, но и регулятивный принцип. С одной стороны, он дает представление о мире как о целостности, позволяет мыслить общие законы бытия в их единстве, а с другой – ориентирует современное естествознание на выявление конкретных закономерностей глобальной эволюции материи на всех её структурных уровнях, на всех этапах её самоорганизации.

10.5. О теории катастроф

Как уже отмечалось ранее, среди новых математических теорий, исследующих сложные системы, а значит их самоорганизацию и эволюцию, особое место отводится так называемой теории катастроф, возникшей в конце 60-х годов XX столетия благодаря французскому математику Рене Тому, развитой затем в работах русского математика Владимира Арнольда. Бум, который возник в обществе в связи с новой теорией, был таков, что стали писать о перевороте в математике, о том, что новая наука гораздо ценнее, чем классический математический анализ, что теория катастроф дает универсальный рецепт для исследования. Мода на науку была столь велика, что появились многие сотни научных и околонаучных публикаций, в которых теория катастроф применялась в эмбриологии и психологии, кардиологии и лингвистики, социологии и геологии, к проблемам психических расстройств и поведению биржевых игроков, о влиянии алкоголя на водителей и т.д. и т.п. Владимир Арнольд считает, что это случилось благодаря хорошо подобранному термину, как в свое время успех пришел к кибернетике (детище Норберта Винера) и к синергетике (детище Германа Хакена). «Трудно поверить, – говорил Анри Пуакаре, – какую огромную экономию мысли может осуществить одно хорошо подобранное слово». И вот термин «теория катастроф» Р. Том придумал для обозначения качественного изменения объекта при плавном изменении параметров, от которых объект зависит.

Математическая теория катастроф сама по себе не предотвращает катастрофы, подобно тому, как таблица умножения, при всей её полезности для бухгалтерского учета, не спасает ни от отдельных хищений, ни от неразумной организации экономики в целом. Но теория дает прогноз. Трудность решения большинства современных проблем связана, как уже отмечалось, с их имманентной принципиальной нелинейностью. Привычные методы получения решений и управления, при которых результаты пропорциональны усилиям, тут не действуют и нужно вырабатывать нелинейную интуицию, основанную порой на парадоксальных выводах нелинейной теории.

Вот, например, какие выводы следуют из теории применительно к системе, находящейся в устойчивом состоянии, признанном плохим, поскольку в пределах видимости имеется лучшее:

1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит к ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему состоянию увеличивается.

2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление системы растет.

3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое состояние, через которое нужно пройти для достижения лучшего. После прохождения максимума сопротивления состояние продолжает ухудшаться.

4. По мере приближения к самому плохому состоянию сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и как только самое плохое состояние пройдено, не только полностью исчезает сопротивление, но система начинает «притягиваться» к лучшему состоянию.

5. Слабо развитая система может перейти в лучшее состояние почти без предварительного ухудшения, в то время как развитая система, в силу своей устойчивости, на такое постепенное, непрерывное улучшение неспособна.

6. Если систему удается сразу, скачком, а не непрерывно, перевести из плохого устойчивого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше она сама собой будет эволюционировать в сторону хорошего состояния.

С этими объективными законами функционирования нелинейных систем нельзя не считаться. Теория катастроф дает возможность получить и количественные модели. Но в некоторых случаях качественные выводы теории катастроф представляются более важными и даже более надежными: они мало зависят от деталей при решении проблем сложности.