Вариант 13.

1. Описати та доказати властивості стохастичного інтегралу з випадковою верхньою межею.

Если , а – некоторая случайная величина, для которой , то под интегралом понимаем величину , где с вероятностью 1 – непрерывный процесс. Если с вероятностью 1 непрерывен справа, то будет случайной величиной, измеримой относительно исходного пространства, как предел величин , где при .

Стохастический интеграл по случайному промежутку обладает свойствами 1 и 2 , но не обязательно удовлетворяет свойству 3.

1. Если принадлежат а – случайные величины, для которых принадлежит , то

;

2. Если – характеристическая функция интервала принадлежащего , то

;

3.Если и , то

.

Свойство 3 выполняется для класса величин, который образуют марковские моменты по отношению к совокупности алгебр .

Пусть и – две случайные величины, для которых . Тогда положим (интегралы со случайным верхним пределом уже определены).

Теорема. Предположим, что , а – марковские моменты, для которых . Тогда

.

Доказательство. Введем случайные функции .

Из определения марковских моментов вытекает, что измеримы относительно . Далее,

Очевидно, и, кроме того

.

Следовательно,

(соотношение является следствием того, что

Теорема доказана.

2. Які величини входять у балансове рівняння для терминальної плати задачі р.Мертона:

Ответ: г) жоден з варіантів не є вірним.

3. Нехай - пуасонівський процес з інтенсивністю . Знайти , та .

Решение: Поскольку - пуассоновский процесс с интенсивностью , то вероятность того, что на интервале будет предъявлено ровно требований, равна:

,

тогда вероятность того, что на интервале будет предъявлено ровно одно требование:

;

требования на этом интервале времени предъявляться не будут:

;

более, чем одно требование:

.

Вариант 14.

1. Вивести балансове рівняння у задачі р. Мертона без споживання.

Будем считать что запас ценных бумаг состоит из двух пакетов – безрисковых и рисковых бумаг. Эволюция безрискового актива описывается формулой: , в то время как цена рискового актива меняется в соответствии с уравнением:

здесь – одномерное стандартное броуновское движение, , – константы, (т.к. естественно полагать, что доходность рискового актива должна быть выше).

Управление является скалярной величиной и состоит в том, что доля капитала отводится на покупку акций, а оставшуюся долю размещают на банковском счету.

Пусть – капитал в момент времени , – доля, вкладываемая в акции, тогда в акции вложим: , и тогда число купленных акций будет равно

.

Так как

,

то на момент времени за счет пакета акций будем иметь

.

Пусть – доля, вкладываемая на банковский счет, тогда на банковский счет мы положим сумму . Так как

,

то на момент времени на банковском счету будем иметь сумму

.

Если нет потребления, то в момент времени за счет двух активов будем иметь сумму:

При получим балансовое уравнение для эволюции капитала инвестора: