
- •Вариант 1.
- •1. Сформулювати та доказати узагальнену формулу Байєса
- •2. Математичне очікування та дісперсія процесу Пуассона дорівнюють відповідно.
- •3. Оцінити наступну ймовірність
- •Вариант 2.
- •1. Описати зв'язок потіка Ерланга з пуассонівським процесом.
- •3. Нехай – незалежні однаково розподілені випадкові величини з для деякого . Нехай позначає їх часткові суми. Показати, що
- •Вариант 3.
- •1. Описати прорідження пуассонівського потоку вимог.
- •2. Для процесу Пуассона є вірним твердження:
- •3. Нехай - рішення рівняння
- •Вариант 4.
- •1. Знайти оптимальне управління та ціну в задачі р. Мертона у термінальному випадку.
- •2. Формула Іто використовується для:
- •3. Припустимо, що є рішенням рівняння
- •Вариант 5.
- •1. Описати неокласичні математичні моделі макроекономіки.
- •2. Складний пуассонівський процес можна представити у вигляді:
- •3. Нехай та - квадратично-інтегровані -мартингали.
- •Вариант 6.
- •1. Сформулювати та доказати варіант теореми Леві для вінеровського процесу.
- •2. Стохастичний інтеграл Іто зі змінною верхньою межею є:
- •3. Використовуючи формулу Іто, довести, що:
- •Вариант 7.
- •1. Описати конструктивне завдання пуассонівського процесу.
- •2. У стохастичному диференціалі відсутній коефіцієнт зносу. У формулі Іто в загальному випадку присутні:
- •3. Нехай - узагальнений пуассонівський процес, де відомі параметри: , , - інтенсивність пуассонівського процесу . Знайти для математичне очікування та дисперсію.
- •Вариант 8.
- •1. Доказати нерівність Колмогорова-Гаєка-Рен'ї для мартінгал-різниць.
- •2. Результатом прорідження пуассонівського потоку вимог з параметром є:
- •3. Нехай – рішення наступного рівняння
- •Вариант 9.
- •1. Описати властивості збереження субмартінгальності у марківські моменти часу.
- •2. Ціна в рівнянні р. Белмана повинна мати наступні властивості гладкості:
- •3. Вирішити стохастичне диференціальне рівняння:
- •Вариант 10.
- •10. Вивести рівняння р. Беллмана.
- •2. Випадкові величини, що фігурують у розкладанні вінерівського процесу в ряд, мають розподіл:
- •3. Нехай на завдано потік -алгебр і випадкова величина , що має скінченне математичне очікування. Показати, що випадкова функція є мартінгалом стосовно .
- •Вариант 11
- •1. Вивести балансове рівняння у задачі р. Мертона із споживанням.
- •2. Прирощення стандартного вінерівського процесу розподілені за:
- •3. Нехай – послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин з та . Показати, що послідовність є мартингалом відносно фільтрації , породженої послідовністю .
- •Вариант 12.
- •1. Описати конструктивне завдання вінеровського процессу.
- •2. Які величини входять у балансове рівняння задачі р.Мертона зі споживанням:
- •3. Знайти та , якщо .
- •Вариант 13.
- •1. Описати та доказати властивості стохастичного інтегралу з випадковою верхньою межею.
- •2. Які величини входять у балансове рівняння для терминальної плати задачі р.Мертона:
- •Вариант 14.
- •1. Вивести балансове рівняння у задачі р. Мертона без споживання.
- •2. Якщо модель еволюції фінансового активу має властивість безарбітражності, то яке з тверджень є вірним:
- •3. Нехай - рішення рівняння
- •Вариант 15.
- •1. Доказати незалежність прирощень пуасонівського процесу
- •2. Стохастичний інтеграл Іто є інтегралом:
- •3. Довести, що , якщо - стандартний вінерівський процес.
- •Вариант 16.
- •1. Доказати властивість Бакстера.
- •2. У сумах Іто значення інтегруємої функції береться:
- •3. Довести формулу дифференціювання добутку двох випадкових процессів:
- •Вариант 17.
- •1. Сформулювати та доказати узагальнення узагальненої формули Іто.
- •2. У стохастичному диференціалі відсутня дифузійна частина. У формулі Іто в загальному випадку присутні:
- •Вариант 18.
- •1. Знайти оптимальні управління та ціну керування в задачі Мертона із споживанням (інтегральний критерій).
- •2. Фінансовий актив х має властивість безарбітражності. Яке з тверджень є вірним:
- •3. Нехай - незалежні однаково розподілені випадкові величині такі що: для кожного . Нехай . Показати, що є -мартингалом для кожного .
- •Вариант 19.
- •1. Сформулювати та доказати узагальнену формулу Іто для стохастичних диференціалів.
- •2. Стандартний вінерівський процес є:
- •3. Доказати, що узагальнений пуассонівський процес , де відомі параметри: , , - інтенсивність пуассонівського процесу , має незалежні прирощення.
- •Вариант 20.
- •1. Доказати нерівність Лундебрга.
- •3. Показати, що однорідний пуасонівський процес є субмартингалом відносно та припускає представлення виду де - мартингал відносно , а - детермінована функція
- •Вариант 21.
- •Вариант 22.
- •Проверим на безарбитражность модель Самуэльсона. Для этого найдём .
- •2. Якщо за деякою ймовірносною мірою модель має властивість безарбітражності, то за деякою еквівалентною мірою модель:
- •3. Нехай задовольняють наступній системі рівнянь
- •Вариант 23.
- •1. Доказати нерівність а. Н. Колмогорова для позитивних субмартінгалів. (включаючі зауваження)
- •2. Якщо в моделі Самуельсона , то процес ціноутворювання є:
- •3. Знайти закон розподілу випадкової величини . Виявити, чи усякий рівень може бути подоланий. Якщо так, то скільки в середньому доведеться чекати моменту настання цієї події.
- •Вариант 24
- •1. Сформулювати поняття арбітражу. Привести достатні умови безарбітражності.
- •Рассмотрим – приращение цены, где – цена в момент времени , Модель будет безарбитражной, если
- •2. Характеристика стандартного вінерівського процесу дорівнює:
- •3. Довести , якщо - супермартінгал, - марківський момент часу, що приймає значення на множині всіх раціональних точок проміжку .
- •Вариант 25.
- •1. Описати модель Кларка та перевірити її на безарбітражність.
- •2. Якщо та , то яке з наведених тверджень є вірним:
- •3. Перевірити, чи є випадковий процес рішенням стохастичного диференціального рівняння , , де - невипадковий параметр.
2. Ціна в рівнянні р. Белмана повинна мати наступні властивості гладкості:
Ответ: г) існують безперервні частинна похідна по t і друга частинна похідна по x.
3. Вирішити стохастичне диференціальне рівняння:
Решение:
Пусть
,
тогда
.
Используя формулу Ито для функции
,
и учитывая, что
,
получаем:
Откуда получаем:
И, учитывая, что , получаем:
.
Вариант 10.
10. Вивести рівняння р. Беллмана.
Пусть динамика системы описывается стохастическим уравнением
(1)
где
– пуассоновская мера,
,
– управление,
– область допустимых управлений, которая
состоит из функций, при которых уравнение
(1) имеет слабое решение.
Пусть функционал качества имеет вид:
Цель
управления состоит в том, чтобы функционал
качества принял максимальное значение:
.
Выведем уравнение Беллмана, которое
связывает оптимальное управление
с ценой управления
,
то есть платой при оптимальном
управлении:
.
Пусть
,
по свойству марковости процесса
,
имеем
тогда
Тогда имеем
(2)
где
По обобщённой формуле Ито получаем
Откуда
(3)
Из (3) имеем
(4)
Из (4) и (2) имеем
Поделив
обе части на
,
и переходя при
,
имеем
(5)
Так
как
и
,
тогда уравнение
Беллмана примет вид
2. Випадкові величини, що фігурують у розкладанні вінерівського процесу в ряд, мають розподіл:
Ответ: а) нормальний з параметрами (0,1);
3. Нехай на завдано потік -алгебр і випадкова величина , що має скінченне математичне очікування. Показати, що випадкова функція є мартінгалом стосовно .
Решение:
По условию
,
поэтому для любого
определено условное математическое
ожидание
,
причем
измерима относительно
.
Таким образом, случайная функция
-согласована.
Далее, используя свойства математического
ожидания и неравенство Йенсена (пусть
-
выпуклая вниз функция, такая, что
),
тогда с вероятностью п.н.
),
получаем
.
Теперь
осталось проверить условие
(с вероятностью п.н.) при
Пусть
,
тогда с учетом
имеем
Итак, - мартингал относительно в силу определения.
Вариант 11
1. Вивести балансове рівняння у задачі р. Мертона із споживанням.
Будем
считать, что запас ценных бумаг состоит
из двух пакетов – безрисковых и рисковых
бумаг. Эволюция безрискового актива
описывается формулой:
,
в то время как цена рискового актива
меняется в соответствии с уравнением:
здесь
– одномерное стандартное броуновское
движение,
,
– константы,
(т.к. естественно полагать, что доходность
рискового актива должна быть выше).
Управление
является скалярной величиной
и состоит в том, что доля капитала
отводится на покупку акций, а оставшуюся
долю
размещают на банковском счету.
Пусть
– капитал в момент времени
,
– доля, вкладываемая в акции, тогда в
акции вложим:
,
и тогда число купленных акций будет
равно
.
Так как
,
то
на момент времени
за счет пакета акций будем иметь
.
Пусть
– доля, вкладываемая на банковский
счет, тогда на банковский счет мы положим
сумму
.
Так как
,
то на момент времени на банковском счету будем иметь сумму
.
Пусть
есть потребление со скоростью
.
Тогда получим:
И
тогда при
получим
балансовое уравнение для эволюции
капитала инвестора:
где
.