2. Ціна в рівнянні р. Белмана повинна мати наступні властивості гладкості:

Ответ: г) існують безперервні частинна похідна по t і друга частинна похідна по x.

3. Вирішити стохастичне диференціальне рівняння:

Решение: Пусть , тогда . Используя формулу Ито для функции , и учитывая, что , получаем:

Откуда получаем:

И, учитывая, что , получаем:

.

Вариант 10.

10. Вивести рівняння р. Беллмана.

Пусть динамика системы описывается стохастическим уравнением

(1)

где – пуассоновская мера, , – управление, – область допустимых управлений, которая состоит из функций, при которых уравнение (1) имеет слабое решение.

Пусть функционал качества имеет вид:

Цель управления состоит в том, чтобы функционал качества принял максимальное значение: . Выведем уравнение Беллмана, которое связывает оптимальное управление с ценой управления , то есть платой при оптимальном управлении: . Пусть , по свойству марковости процесса , имеем

тогда

Тогда имеем

(2)

где

По обобщённой формуле Ито получаем

Откуда

(3)

Из (3) имеем

(4)

Из (4) и (2) имеем

Поделив обе части на , и переходя при , имеем

(5)

Так как и , тогда уравнение Беллмана примет вид

2. Випадкові величини, що фігурують у розкладанні вінерівського процесу в ряд, мають розподіл:

Ответ: а) нормальний з параметрами (0,1);

3. Нехай на завдано потік -алгебр і випадкова величина , що має скінченне математичне очікування. Показати, що випадкова функція є мартінгалом стосовно .

Решение: По условию , поэтому для любого определено условное математическое ожидание , причем измерима относительно . Таким образом, случайная функция -согласована. Далее, используя свойства математического ожидания и неравенство Йенсена (пусть - выпуклая вниз функция, такая, что ), тогда с вероятностью п.н. ), получаем

.

Теперь осталось проверить условие (с вероятностью п.н.) при

Пусть , тогда с учетом имеем

Итак, - мартингал относительно в силу определения.

Вариант 11

1. Вивести балансове рівняння у задачі р. Мертона із споживанням.

Будем считать, что запас ценных бумаг состоит из двух пакетов – безрисковых и рисковых бумаг. Эволюция безрискового актива описывается формулой: , в то время как цена рискового актива меняется в соответствии с уравнением:

здесь – одномерное стандартное броуновское движение, , – константы, (т.к. естественно полагать, что доходность рискового актива должна быть выше).

Управление является скалярной величиной и состоит в том, что доля капитала отводится на покупку акций, а оставшуюся долю размещают на банковском счету.

Пусть – капитал в момент времени , – доля, вкладываемая в акции, тогда в акции вложим: , и тогда число купленных акций будет равно

.

Так как

,

то на момент времени за счет пакета акций будем иметь

.

Пусть – доля, вкладываемая на банковский счет, тогда на банковский счет мы положим сумму . Так как

,

то на момент времени на банковском счету будем иметь сумму

.

Пусть есть потребление со скоростью . Тогда получим:

И тогда при получим балансовое уравнение для эволюции капитала инвестора:

где .