2. Якщо в моделі Самуельсона , то процес ціноутворювання є:
Ответ: а) мартингалом;
3. Знайти закон розподілу випадкової величини . Виявити, чи усякий рівень може бути подоланий. Якщо так, то скільки в середньому доведеться чекати моменту настання цієї події.
Решение:
Пусть
таково, что
.
В силу непрерывности
это возможно, только если до момента
траектория
уже пересекла уровень
,
т.е. произошло событие
.
Таким образом, случайное событие
влечет
,
поэтому
.
С учетом этого, используя формулу
умножения вероятностей, получаем:
Итак,
Из свойства симметрии винеровского процесса следует, что левая часть равна . Поэтому
где
– искомая функция распределения
случайной величины
,
причем, учитывая, что
,
получаем
.
(1)
Из
(1) следует, что
- непрерывно дифференцируемая функция,
т.е. случайная величина
имеет непрерывную плотность вероятности:
(2)
Соотношения (1) и (2) позволяют сделать следующие выводы:
а)
т.к.
при любом конечном
,
т.е. траектория винеровского процессса
рано или поздно пересечет сколь угодно
высокий барьер
.
б)
,
т.е. среднее время ожидания этого
пересечения бесконечно велико.
Вариант 24
1. Сформулювати поняття арбітражу. Привести достатні умови безарбітражності.
Пусть
– поток, относительно которого процесс
измерим,
другими словами вся информация об
содержится в потоке
.
Пусть в момент времени
,
значение
цены актива будет
,
тогда
– прибыль (либо убыток) держателя актива
за счет изменения цены.
Предположение отсутствия арбитража означает, что на таком рынке должны быть выполнены два условия:
и
т.е.
при условии фиксированного прошлого
до момента t
имеется положительная вероятность
получить прибыль
,
либо убыток
за счет изменения цены. Если смотреть
на финансовый рынок как на игру двух
игроков – то игра должна быть справедливой,
т.е. наряду с возможностью выиграть,
должна быть и возможность проиграть.
Рассмотрим – приращение цены, где – цена в момент времени , Модель будет безарбитражной, если
{
/
> 0} > 0 ,
{
/
< 0} > 0 .
Возьмём две эквивалентные меры и обозначим их и .
Если
по мере
(A)
выполнено
,
,
то и по исходной мере также будут
выполнены эти условия безарбитражности.
Действительно, если
,
то в силу эквивалентности мер имеем
,
,
где
.
Ситуация
является безарбитражной, если существует
мера
эквивалентная
исходной мере
:
~
,
такая, что
(
/
)
)=0.
(1)
Действительно, пусть выполнено (1) и имеется арбитраж, например имеет место
{
>
0/
}
> 0 ,
{
0/
}
=1,
тогда и по эквивалентной мере также имеем
{ > 0/ } > 0 , { 0/ }=1.
Откуда следует ( / ) )>0, что противоречит (1). Действительно, пусть
( / ) )=0,
а
арбитраж имеет место. Тогда для любого
имеем
(2)
с
другой стороны существует такое
,
что либо на всём
либо на его части
,
а приращение
,
тогда имеем
–
здесь
– некоторая «средняя» точка, т.е. мы
пришли к противоречию с (2) . Значит, наше
предположение о наличие арбитража в
случае
( / ) )=0
невозможно. Случай
{
0/
}
> 0 ,
{
0/
}
=1,
исследуется аналогично. Таким образом мы показали, что выполнение условия (1) является достаточно для того, чтобы модель была безарбитражной. Условие (1) является также и необходимым.
Лемма.
Пусть при каждом
и
,
(3)
тогда
на
существует вероятностная мера
,
эквивалентная
,
относительно которой случайный процесс
,
будет мартингал-разностью, т.е.
что означает
,
т.е.
случайный процесс
,
– мартингал относительно расширяющегося
потока σ-алгебр
.
Таким образом, если изменение цены актива на удовлетворяет условию безарбитражности, то цена такого актива является мартингалом относительно меры , эквивалентной исходной мере .