2. Стандартний вінерівський процес є:
Ответ: б) субмартингалом;
3. Доказати, що узагальнений пуассонівський процес , де відомі параметри: , , - інтенсивність пуассонівського процесу , має незалежні прирощення.
Решение:
Пусть
.
Докажем, что приращения
,
,
независимы. Для этого достаточно доказать
равенство:
,
где
- характеристическая функция случайного
вектора
,
а
- характеристические функции случайных
величин
,
.
Итак,
(1),
где
функция
определяется выражением
(2)
для
натуральных аргументов
.
Используя обозначение
в силу независимости скачков
от
и
независимости величин
находим
,
(3)
где
характеристическая функция случайной
величины
.
Теперь из (1)-(3) с учетом независимости приращений пуассоновского процесса получаем
(4).
Повторяя дословно проделанные выкладки для функции находим
(5).
Теперь требуемое равенство следует из (4) и (5).
Вариант 20.
1. Доказати нерівність Лундебрга.
Пусть
процесс риска имеет вид
,
где
– начальный капитал компании,
– коэффициент нагрузки,
– независимые
одинаково распределенные случайные
величины с функцией распределения
,
причем
и
,
имеющие смысл величин последовательных
страховых требований. Процесс
– пуассоновский, не зависит от
и имеет интенсивность
,
то есть
,
имеющий смысл числа требований поступивших
на промежутке
.
Тогда,
– неравенство
Лундберга,
где
– решение уравнения вида
Доказательство.
Так как
последовательность событий
является сужающейся последовательностью
множеств, то эта последовательность
имеет предел
,
причём
Тогда
где
– корень
уравнения
Случайный процесс
–
мартингал
относительно семейства
-
алгебр
Процесс
– процесс с независимыми приращениями,
так как число поступлений требований
и величины исков, произошедшие на
промежутке времени
не зависят от того, что происходило
на промежутке
.
Таким образом
Так как
является
-измеримой
а
Воспользовавшись неравенством Колмогорова для субмартингалов, имеем
Покажем,
что
Таким образом
и неравенство Лундберга доказано.
2. Якщо в моделі Самуельсона μ < 0, то процес ціноутворювання є:
Ответ: в) супермартингалом;
3. Показати, що однорідний пуасонівський процес є субмартингалом відносно та припускає представлення виду де - мартингал відносно , а - детермінована функція
Решение:
Приращение
,
,
неотрицательно, причем
.
Следовательно,
,
что доказывает субмартингальность процесса .
Поскольку
,
то процесс
является центрированной СФ с независимыми
приращениями, причем
.
Покажем, что
является мартингалом относительно
потока
,
если
.
Пусть
для
.
Покажем, что
не зависит от
-алгебры
.
Для этого достаточно показать независимость
указанного приращения от произвольного
набора сечений
,
где
.
Поскольку эти сечения можно представить
в виде линейного преобразования
приращений
,
то требуемое утверждение следует из
того, что эти приращения не зависят от
,
т.к.
- процесс с независимыми приращениями.
Теперь в силу независимости
от
,
находим
Откуда
следует, что
– мартингал. Таким образом показали,
что
представляет
собой мартингал относительно
.
Так как
при любом
,
то
-
мартингал относительно потока
.
Таким образом, требуемое представление
имеет вид
где
,
.