Список использованных источников

1. http://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_Розенброка

2. http://nsft.narod.ru/Programming/colmetopt.html

3. http://www.mathworks.com

4. http://www.exponenta.ru/soft/matlab/potemkin/book/matlab/chapter0/0_0.asp

5. http://matlab.exponenta.ru

6. Н.Ю. Золотых. Использование пакета Matlab в научной и учебной работе - Нижний Новгород, 2006 – 165с.

Приложение

Листинг программы

Главный файл проекта.

1. clear all;

2. clc;

4. ITERATION_AMOUNT = 1000;

5. EPSILON = 0.001; %Точность

6. h = 0.2; %Шаг

7. POINT_AMOUNT = 50; %количество точек

9. %начальная точка

10. %Эллипс

11. x_point_Ellipse(1) = 2;

12. x_point_Ellipse(2) = -2;

13. %Розенброк

14. x_point_Rosenbrock(1) = 4;

15. x_point_Rosenbrock(2) = 3;

16. %CF

17. a1_T_point_CF(1) = 2;

18. a1_T_point_CF(2) = 4;

20. %a и b - значения радиусов для ф-ии. Эллипса.

21. a = 3;

22. b = 2;

24. %исходные значения параметров функции W(s).

25. a1 = 10;

26. T = 2;

28. ELLIPSE = 'ELLIPSE';

29. ROSENBROCK = 'ROSENBROCK';

30. CF_text = 'CF';

32. %Часть 1. Эйлер.

33. y_teor = FirstPart_EulerMethod(a1, T, POINT_AMOUNT);

35. %Часть 2. Оптимизация покоординатно.

36. %function [value_of_funct, x] = SecondPart_OptimizationCoordinate(function_name, h, EPSILON, ITERATION_AMOUNT, a, b, y_exp, number_y_exp, POINT_AMOUNT)

37. [y_Ellipse, x_Ellipse] = SecondPart_OptimizationCoordinate(ELLIPSE, h, EPSILON, ITERATION_AMOUNT, x_point_Ellipse, a, b, -1, -1, POINT_AMOUNT);

38. [y_Rosenbrock, x_Rosenbrock] = SecondPart_OptimizationCoordinate(ROSENBROCK, h, EPSILON, ITERATION_AMOUNT, x_point_Rosenbrock, a, b, -1, -1, POINT_AMOUNT);

40. %Часть 3. ГСЧ. CF

41. [CF, a1_T_1, a1_T_2, a1_T_3] = ThirdPart(CF_text, h, EPSILON, ITERATION_AMOUNT, a1_T_point_CF, a, b, y_teor, POINT_AMOUNT);

Функция Метод Эйлера.

1. function y_Euler_50point = FirstPart_EulerMethod(a1, T, POINT_AMOUNT)

3. global y_Euler;

5. ITERATION_AMOUNT = 300; %количество точек для первого графика.

6. x_t = 5; %константа из задания x(t)

7. h = 0.5;

8. z1 = 0;

9. z2 = 0;

11. coeff_z1 = 120*a1/T.^2+6;

12. coeff_z2 = 6*a1-120+48*a1/T;

13. coeff_x_t = 120*a1/T.^2;

14. %free_term - свободный член.

15. free_term = coeff_x_t*x_t;

17. for i = 1:ITERATION_AMOUNT

18. z1(i+1) = z1(i) + h*z2(i);

19. z2(i+1) = z2(i) + h*(x_t-z1(i)-0.4*T*z2(i))/T.^2;

20. y_Euler(i) = coeff_z1*z1(i) + coeff_z2*z2(i) - free_term;

21. end;

23. % figure

24. % i = 1:ITERATION_AMOUNT;

25. % plot(i,y_Euler);

26. % title('Y теоретическое. график на 300 точек');

28. %saveas(gcf, 'output', 'bmp');

29. %оставляем из всех 300 точек только 50 (POINT_AMOUNT)

30. j = 1;

31. step_cycle = ITERATION_AMOUNT/POINT_AMOUNT;

32. for i = 1:step_cycle:ITERATION_AMOUNT

33. y_Euler_50point(j) = y_Euler(i);

34. j = j + 1;

35. end;

37. % figure

38. % i = 1:POINT_AMOUNT;

39. % plot(i,y_Euler_50point);

40. % title('Y теоретическое. график на 50 точек (через каждые 6)');

42. end

Функция покоординатной оптимизации

1. %Часть 2. Оптимизация покоординатно.

2. function [value_of_funct, x] = SecondPart_OptimizationCoordinate(function_name, h, EPSILON, ITERATION_AMOUNT, x_start_point, a, b, y_exp, number_y_exp, POINT_AMOUNT)

4. varlist = {'global X', 'global Y', 'global Z', 'T_plot', 'a1_plot'};

5. %global_varlist = {'global T_plot','global a1_plot', 'global X', 'global Y', 'global Z'};

6. %clear(varlist{:});

7. %clear CF;

8. clear (varlist{:});

10. %global X;

11. %global Y;

12. %global Z;

14. %Перем. для пропуска проверки условия на то, предыд. value_of_funct min из последних трех или нет.

15. change_coord = 1;

16. %Для выхода из цикла, если кол-во. итераций больше ITERATION_AMOUNT.

17. number_iteration = 1;

19. change = 1;

20. constant = 2;

21. i = 2;

23. x(1,1) = x_start_point(1); %первая координата, первое значение.

24. x(2,1) = x_start_point(2); %вторая координата, первое значение.

25. x(1,2) = x(change,i-1) + h; %первая координата, второе значение.

26. x(2,2) = x(constant,i-1); %вторая координата, второе значение.

28. value_of_funct(1) = Ellipse_Rosenbrock_or_CF(function_name, x(1,1), x(2,1), a, b, y_exp, number_y_exp, POINT_AMOUNT);

29. new_value_of_function = Ellipse_Rosenbrock_or_CF(function_name, x(1,2), x(2,2), a, b, y_exp, number_y_exp, POINT_AMOUNT);

31. if new_value_of_function > value_of_funct(1)

32. h = h* (-1);

33. x(1,2) = x(change,i-1) + h;

34. value_of_funct(2) = Ellipse_Rosenbrock_or_CF(function_name, x(change,i), x(constant,i), a ,b, y_exp, number_y_exp, POINT_AMOUNT);

36. else

37. value_of_funct(2) = new_value_of_function;

38. end

40. %Цикл пока модуль разности функций больше точности эпсилон и количество итераций меньше ITERATION_AMOUNT(10000).

41. while (abs(value_of_funct(i)-value_of_funct(i-1)) > EPSILON && (number_iteration < ITERATION_AMOUNT))

43. number_iteration = number_iteration + 1;

44. i = i + 1;

45. change_coord = change_coord + 1;

47. %прибавляем шаг к первой координате.

48. x(change,i) = x(change,i-1) + h;

49. %вторую координату переписываем.

50. x(constant,i) = x(constant,i-1);

51. %находим значение функции от новых значений.

52. new_value_of_function = Ellipse_Rosenbrock_or_CF(function_name, x(1,i), x(2,i), a, b, y_exp, number_y_exp, POINT_AMOUNT);

54. %если функция от текущих значений больше функции от предыдущих, то h = h* (-1), ... иначе value_of_funct(i) = new_value_of_function.

55. if new_value_of_function > value_of_funct(i-1)

57. %обнуляем последнее значение

58. x(change,i) = NaN;

59. i = i - 1; %чтобы вернуться к предыдущему минимальному значению функции

60. h = h* (-1);

62. %Если после смены координаты, по которой шагаем сделали не меньше 3 точек, то делаем проверку min value_of_funct из последних 3-х. значений.

63. if (change_coord >= 3)

65. %если функция от значений на предыдущем шаге меньше текущих и меньше чем на шаге i-2, то меняем координату перемещения.

66. if value_of_funct(i-1) >= value_of_funct(i)

68. %После перемены координаты по которой шагаем - обнуляем change_coord.

69. change_coord = 0;

70. if (constant == 1)

71. constant = 2;

72. change = 1;

74. else

75. constant = 1;

76. change = 2;

77. end

79. end

80. end

82. else

83. value_of_funct(i) = new_value_of_function;

84. end

85. end %конец цикла while

86. last_number = i;

88. %построение графика

89. draw_way_and_lines_level(function_name, x, last_number, value_of_funct, number_iteration, a, b, y_exp, number_y_exp, POINT_AMOUNT);

91. end

Функция для вычисления значения ф-ии. F(x1, x2) по Розенброку, по ф-ии. Эллипса или целевой функции (CF).

1. function value_of_funct = Ellipse_Rosenbrock_or_CF(function_name, x_1_i, x_2_i, a, b, y_exp, number_y_exp, POINT_AMOUNT)

3. if strcmp(function_name, 'ROSENBROCK') == 1

4. %if function_name == 'ROSENBROCK'

5. value_of_funct = 100 * (x_2_i - x_1_i.^2).^2 + (1 - x_1_i).^2;

6. return

8. elseif strcmp(function_name, 'ELLIPSE') == 1

9. %elseif function_name == 'ELLIPSE'

10. value_of_funct = x_1_i.^2/a.^2 + x_2_i.^2/b.^2;

11. return

13. elseif strcmp(function_name, 'CF') == 1

14. %elseif function_name == 'ELLIPSE'

15. y_model = FirstPart_EulerMethod(x_1_i, x_2_i, POINT_AMOUNT);

16. value_of_funct = sum((y_exp(number_y_exp,:) - y_model).^2)/POINT_AMOUNT;

17. return

19. else

20. value_of_funct = -1;

21. return

22. end

23. end

1. %Часть 3. CF

2. function [CF, a1_T_1, a1_T_2, a1_T_3] = ThirdPart(function_name, h, EPSILON, ITERATION_AMOUNT, a1_T_point_CF, a, b, y_teor, POINT_AMOUNT)

4. %y_max берем из 1 части.

5. y_max = max(abs(y_teor));

7. %delta_y = y max * Мю

8. delta_y(1) = y_max*0.005;

9. delta_y(2) = y_max*0.01;

10. delta_y(3) = y_max*0.02;

12. %Генератор случайных чисел. Треугольный шум.

13. [y_noise(1, :), x_noise(1, :)] = RNG_Triangle(delta_y(1), POINT_AMOUNT);

14. [y_noise(2, :), x_noise(2, :)] = RNG_Triangle(delta_y(2), POINT_AMOUNT);

15. [y_noise(3, :), x_noise(3, :)] = RNG_Triangle(delta_y(3), POINT_AMOUNT);

17. y_exp(1, :) = y_teor + x_noise(1, :);

18. y_exp(2, :) = y_teor + x_noise(2, :);

19. y_exp(3, :) = y_teor + x_noise(3, :);

21. i = 1:POINT_AMOUNT;

22. s_exp1 = 'k';

23. s_exp2 = 'g';

24. s_exp3 = 'b';

25. s_teor = 'r';

27. %Строим графики Y экспериментальных.

28. % figure;

29. % plot(y_exp(1, :), s_exp1);

30. % title('Yexp1 - черный');

31. % figure;

32. % plot(y_exp(2, :), s_exp2);

33. % title('Yexp2 - зеленый');

34. % figure;

35. % plot(i, y_exp(3, :), s_exp3, i, y_teor, s_teor);

36. % title('Yexp3 - голубой. Yteor - красный');

38. number_y_exp_1 = 1;

39. number_y_exp_2 = 2;

40. number_y_exp_3 = 3;

42. [CF1, a1_T_1] = SecondPart_OptimizationCoordinate(function_name, h, EPSILON, ITERATION_AMOUNT, a1_T_point_CF, a, b, y_exp, number_y_exp_1, POINT_AMOUNT);

43. [CF2, a1_T_2] = SecondPart_OptimizationCoordinate(function_name, h, EPSILON, ITERATION_AMOUNT, a1_T_point_CF, a, b, y_exp, number_y_exp_2, POINT_AMOUNT);

44. [CF3, a1_T_3] = SecondPart_OptimizationCoordinate(function_name, h, EPSILON, ITERATION_AMOUNT, a1_T_point_CF, a, b, y_exp, number_y_exp_3, POINT_AMOUNT);

47. %Закидываем массивы CF1, CF2, CF3 в двумерный массив CF(3,:).

48. size_CF(1) = size(CF1, 2);

49. size_CF(2) = size(CF2, 2);

50. size_CF(3) = size(CF3, 2);

52. for i = 1:size_CF(1)

53. CF(1, i) = CF1(i);

54. end

56. for i = 1:size_CF(2)

57. CF(2, i) = CF2(i);

58. end

60. for i = 1:size_CF(3)

61. CF(3, i) = CF3(i);

62. end

64. end

1. %Часть 3.

2. %Генератор случайных чисел. на дельта y_noise.

3. %Random number generator. Треугольный шум.

4. function [y_noise, x_noise] = RNG_Triangle(delta_y, POINT_AMOUNT)

6. j = 1;

8. while j <= POINT_AMOUNT

10. %a - по горизонтальной прямой - аргумент. генерируем числа от -delta_y до delta_y.

11. a = -delta_y + (delta_y-(-delta_y)).*rand();

12. %b - по вертикальной прямой - функция. генерируем числа от 0 до 1/delta_y.

13. b = 0 + (1/delta_y-0).*rand();

15. %fprintf('Value_of_Function(a, delta_y) = %d\n', Value_of_Function(a, delta_y));

17. %Если b меньше, то сгенерированная точка внутри треугольника.

18. if RNG_Value_of_Function(a, delta_y) > b

19. y_noise(j) = b;

20. x_noise(j) = a;

21. j = j + 1;

22. end;

24. end;

26. %figure;

27. %рисуем гистограмму.

28. %hist(x_noise);

30. end

1. %Часть 3.

2. %Вычисление значения функции для ГСЧ в зависимости от того аргуемент "+" или "-".

3. function y_triangle = RNG_Value_of_Function(argument, delta_y)

5. x1 = 0;

6. y1 = 1/delta_y;

7. y2 = 0;

9. %значение по горизонтали (аргумента) больше или меньше нуля

10. if argument > 0

11. x2 = delta_y;

12. else

13. x2 = -delta_y;

14. end;

16. y_triangle = (argument - x1)*(y2 - y1)/(x2 - x1) + y1;

18. %fprintf('y_triangle = %d\n', y_triangle);

19. end

1. %построение линий уровня и графика поиска min.

2. function draw_way_and_lines_level(function_name, x, last_number, value_of_funct, number_iteration, a, b, y_exp, number_y_exp, POINT_AMOUNT)

4. if strcmp(function_name, 'ELLIPSE') == 1

5. title_plot = ('Функция Эллипса');

6. x_contour = -5:0.1:5;

7. y_contour = -5:0.1:5;

8. [X, Y] = meshgrid(x_contour, y_contour);

9. Z = (X/a).^2 + (Y/b).^2;

10. %точка MIN

11. min_x = 0;

12. min_y = 0;

13. contour_amount = 50;

14. %координаты вывода таблички с данными

15. text_x = -4.8;

16. text_y = -3.9;

18. elseif strcmp(function_name, 'ROSENBROCK') == 1

19. title_plot = ('Функция Розенброка');

20. x_contour = -5:0.1:5;

21. y_contour = -5:0.1:5;

22. [X, Y] = meshgrid(x_contour, y_contour);

23. Z = 100 * (Y - X.^2).^2 + (1 - X).^2;

24. %точка MIN

25. min_x = 1;

26. min_y = 1;

27. contour_amount = 200;

28. %координаты вывода таблички с данными

29. text_x = -4.8;

30. text_y = -3.9;

32. elseif strcmp(function_name, 'CF') == 1

33. %title_plot = ('CF (Целевая функция)');

34. title_plot = strcat('CF', num2str(number_y_exp), ' (Целевая функция)');

35. a1_start = -2;

36. a1_step = 0.2;

37. a1_end = 13;

38. a1_contour = a1_start:a1_step:a1_end;

40. T_start = 1.8;

41. T_step = a1_step;

42. T_end = 7.8;

43. T_contour = T_start:T_step:T_end;

44. %создаем матрицу значений неизвестных параметров для построения линий уровня.

45. [a1_plot, T_plot] = meshgrid(a1_contour, T_contour);

47. iter_amount_a1 = (a1_end - a1_start)/a1_step + 1;

48. iter_amount_T = (T_end - T_start)/T_step + 1;

50. %fprintf('iter_amount_a1 = %d\n', iter_amount_a1);

51. %fprintf('iter_amount_T = %d\n', iter_amount_T);

53. %Здесь создаем матрицу значений CF для построения линий уровня.

54. for i = 1:iter_amount_T

55. for j = 1:iter_amount_a1

56. y_model = FirstPart_EulerMethod(a1_plot(i,j), T_plot(i,j), POINT_AMOUNT);

57. Z(i, j) = sum((y_exp(number_y_exp, :)-y_model).^2)/POINT_AMOUNT;

58. end

59. end

61. X = a1_plot;

62. Y = T_plot;

63. min_x = 10;

64. min_y = 2;

65. contour_amount = 500;

67. text_x = -1.7;

68. text_y = 2.5;

69. end

71. %figure

72. %mesh(X,Y,Z);

73. figure

74. contour(X, Y, Z, contour_amount);

75. % отображение меток уровня

76. hold on;

77. plot(x(1, :), x(2, :), 'k<-');

78. %вывод точки минимума.

79. plot(min_x, min_y, 'r*');

80. title(title_plot);

81. text(min_x-0.2, min_y+0.4,'MIN', 'BackgroundColor',[.7 .7 .7])

82. % выводначальной точки на график

83. text(x(1,1), x(2,1), 'A0', ...

84. 'BackgroundColor',[.7 .7 .7]);

85. % вывод решения на график

86. text(text_x, text_y, ...

87. char(['x1 = ' num2str(x(1,last_number))], ...

88. ['x2 = ' num2str(x(2,last_number))], ...

89. ['f() = ' num2str(value_of_funct(last_number))], ...

90. ['итераций - ' num2str(number_iteration)]), ...

91. 'BackgroundColor',[.7 .7 .7]);

93. end