4. Методи оцінювання параметрів симультативних моделей

Для оцінювання параметрів системи одночасних рівнянь застосовуються різні методи. Найбільш розповсюдженими серед них є:

1. непрямий метод найменших квадратів (НМНК) ;

2. метод інструментальних змінних ;

3. двокроковий метод найменших квадратів (2МНК) ;

4. метод змішаного оцінювання ;

5. трикроковий метод найменших квадратів (3МНК).

Перші чотири методи називаються методами одного рівняння, оскільки вони застосовуються окремо до кожного рівняння системи одночасних рівнянь. П’ятий метод називається системним методом, оскільки він застосовується одночасно до всіх рівнянь системи.

Вибір методу для оцінювання параметрів конкретної моделі є непростим завданням і в першу чергу пов’язаний з проблемою ідентифікації моделі.

4.1. Непрямий метод найменших квадратів (нмнк)

Застосування. Цей метод застосовується для оцінювання параметрів окремих точно ідентифікованих рівнянь структурної форми.

Ідея методу. Ідея методу полягає у використанні однозначних зв’язків між параметрами рівень структурної і приведеної форми для точно ідентифікованих структурних рівнянь. Це дає можливість за попередньо знайденими параметрами рівнянь приведеної форми однозначно визначити параметри рівнянь структурної форми.

Алгоритм нмнк

Крок 1. Здійснюється перехід від структурної форми системи одночасних рівнянь до приведеної (прогнозної). Це робиться шляхом розв’язання кожного рівняння структурної форми відносно однієї з залежних ендогенних змінних моделі.

Крок 2. До кожного рівняння приведеної форми застосовується 1 МНК і знаходяться оцінки параметрів усіх рівнянь приведеної форми.

Крок 3. Розраховуються оцінки параметрів рівнянь структурної форми на основі отриманих на 2-му кроці параметрів прогнозної форми. Для цього використовують співвідношення:

, ( 16 )

де A і B – матриці оцінок параметрів структурних рівнянь, R – відома матриця оцінок параметрів приведеної форми.

 Зауваження 3. Оцінки параметрів рівнянь структурної форми, отримані на основі НМНК, мають практично всі властивості BLUE-оцінок за виключенням незміщенності. Але відхилення цих оцінок, як теоретично доведено, зникають із збільшенням розміру вибірки (тобто ці оцінки є консистентними). Оцінки ж параметрів рівнянь приведеної форми, отримані на кроці 2, є BLUE-оцінками.

4.2. Двокроковий метод найменших квадратів (2мнк)

Застосування. Цей метод застосовується для оцінювання параметрів окремих рівнянь структурної форми, які є надідентифікованими, хоча цей метод може застосовуватися і для оцінювання параметрів окремих рівнянь структурної форми, які є точно ідентифікованими.

Ідея методу. Вона полягає в “очищенні” ендогенних змінних моделі, які входять до правої частини рівняння від їх залежності від залишків і у застосуванні до “очищеного” структурного рівняння 1 МНК для знаходження оцінок параметрів. “Очищення” здійснюється за рахунок заміни ендогенних змінних у правій частині рівняння, які корелюють з залишками регресійного рівняння, допоміжними змінними, які не корелюють з цими залишками.

Розглянемо ідею методу на прикладі моделі попиту (приклад 1) :

, ( 17 )

. ( 18 )

Як було показано вище рівняння (17) – неідентифіковане, а рівняння (18) – надідентифіковане.

Щоб позбавитися кореляції між Q і ε₂ у рівнянні (18) спробуємо замінити змінну Q іншою, яка буде дуже близькою до неї, але не буде корелювати з ε₂. Для цього побудуємо спочатку приведене рівняння для визначення Q тільки через екзогенні змінні. Для цього підставимо (18) у праву частину (17) і отримаємо:

,

або після перетворень:

, ( 19 )

де

Невідомі параметри r₀, r₁ і r₂ можна оцінити 1 МНК і тоді матимемо наступне рівняння регресії :

( 20 )

і змінну Q можна записати згідно ( 19 ) у вигляді:

, ( 21 )

де і u згідно принципів класичної лінійної регресії не корелюють між собою. Тоді рівняння ( 18 ) можна переписати у вигляді:

, ( 22 )

де .

У рівнянні ( 22 ) змінна і залишки ε* не корелюють між собою і при цьому змінна дуже близька до змінної . Застосувавши вдруге до рівняння (22) 1 МНК можна тепер остаточно визначити оцінки параметрів моделі β₀ і β₁.