9.6. Связь между ожидаемой доходностью и риском оптимального портфеля

Пусть для всех участников рынка имеется единая безрисковая ставка r_f получения и предоставления займов. Тогда оптимальным оказывается портфель, представляющий собой комбинацию касательного и безрискового портфелей. Оптимальный портфель имеет следующий вид

P_опт = (x₀, x₁, x₂, …, x_n).

Здесь x₀ – часть (доля) средств, вложенных в безрисковые бумаги, если x₀ > 0, или x₀ – заемные средства, использованные для вложения в касательный портфель, если x₀ < 0.

Числа x₁, x₂, …, x_n находятся в том же соотношении, в котором находятся компоненты касательного портфеля.

Доходности оптимального и касательного портфелей связаны линейным соотношением:

.

Отсюда следует, что коэффициент корреляции равен 1, т.е.

.

Действительно, пусть Y и X – случайные величины, связанные линейным соотношением Y=aХ+b. Докажем, что коэффициент корреляции r_xy = 1.

Доказательство:

Подставим в выражение

т.к.

Найдем дисперсию Y: , т.е.

.

Тогда коэффициент корреляции: ,

откуда

Но тогда

.

В результате уравнение САРМ примет следующий вид

.

Это уравнение задает зависимость ожидаемой доходности оптимального портфеля от его риска.

9.7. Многофакторные модели

Однофакторные модели во многих случаях являются вполне адекватными, однако чаще всего они оказываются слишком упрощенными и тогда приходится рассматривать зависимость доходности ценной бумаги от нескольких (m) факторов, т.е. линейные регрессионные модели следующего вида:

,

где α, β_k – параметры; F^(k) – факторы, определяющие состояние рынка; i – номер наблюдения.

Такими факторами могут быть, например, уровень инфляции, темпы прироста валового внутреннего продукта и др. Если данная ценная бумага относится к некоторому сектору экономики, то целесообразно рассматривать факторы, специфические для данного сектора.

Пример. В табл. приведены данные за шесть лет о темпе роста, уровне инфляции и доходности акций компаний Widget Manufacturing.

№ года	Темп роста ВВП, % (temp)	Уровень инфляции, % (inf)	Доходность акций, % (Widget)
1	5,1	1,1	14,3
2	6,4	4,4	19,2
3	7,9	4,4	23,4
4	7,0	4,6	15,6
5	5,1	6,1	9,2
6	2,9	3,1	13,0

Рассматривается факторная модель следующего вида:

Widget = α + β₁ temp + β₂ inf.

С помощью метода наименьших квадратов получается уравнение следующего вида:

.

При этом средние квадратические ошибки оценок параметров β₁ и β₂ равны 1,125 и 1,162.

Следует стремиться к возможно меньшему количеству объясняющих переменных (факторов), поскольку кроме усложнения модели «лишние» факторы приводят к увеличению ошибок оценок. Так. В рассмотренном примере стандартная ошибка оценки параметра β₂ оказалась больше, чем ее значение по абсолютной величине, т.е

1,162 > 0,67.

Это приводит к мысли, что четкой зависимости доходности акций компании Widget от инфляции нет. В этом случае естественно удалить фактор инфляции и рассматривать зависимости доходности Widget только от темпа роста ВВП. Тогда соответствующее уравнение регрессии имеет следующий вид

.

С помощью метода наименьших квадратов можно получить следующее соотношение

.

В этом случае ошибка (СКО) уменьшается и становится равной 1,002.

Однако в реальных ситуациях порой приходится порой рассматривать модели зависимости от десятков и даже сотен факторов.