9.4. Неравновесные и равновесные модели

Очевидно, что доходности ценных бумаг, обращающихся на рынке, можно рассматривать в зависимости от времени. При этом будут зависеть от времени числовые характеристики случайной величины r_p. Так же могут зависеть от времени и значения параметров α и β.

Модель инвестиционного рынка называется равновесной, если числовые характеристики входящих в нее случайных величин постоянны во времени. Экономический смысл подобного предположения состоит в том, что рынок считается «устоявшимся», сбалансированным. В этом случае можно получить результаты, существенно упрощающие ситуацию.

Будем рассматривать модель зависимости доходности ценной бумаги от доходности касательного портфеля (предполагается, что безрисковая ставка получения и предоставления займов для всех участников рынка одна та же и равна r_f). Если модель равновесная, т.е. рынок сбалансированный, то касательный портфель удовлетворяет следующему свойству: доля каждой ценной бумаги в нем соответствует ее относительной рыночной стоимости. Относительная рыночная стоимость ценной бумаги равна ее совокупной рыночной стоимости, деленной на сумму совокупных рыночных стоимостей всех бумаг. Такой портфель называется рыночным и определяется однозначно.

То есть, рассматривая равновесные модели, мы будем отождествлять понятия касательного и рыночного портфеля, доходность которого обозначим r_М.

Рассмотрим обоснование такого отождествления.

В основу многих финансовых теорий положены допущения, соответствующие понятию идеального рынка капитала. В частности, эти допущения положены в основу модели САРМ (Capital Asset Prising Model).

Указанные допущения представлены следующим перечнем.

1. Инвесторы производят оценку инвестиционных портфелей, основываясь на ожидаемых доходностях и их стандартных отклонениях за период вложения.

2. Инвесторы никогда не бывают перенасыщенными. При выборе между двумя портфелями они предпочтут тот, который, при прочих равных условиях, дает наибольшую ожидаемую доходность.

3. Инвесторы не желают рисковать. При выборе между двумя портфелями они предпочтут тот, который, при прочих равных условиях, имеет наименьшее стандартное отклонение.

4. Частные активы бесконечно делимы. При желании инвестор может купить часть акции.

5. Существует безрисковая процентная ставка, по которой инвестор может дать взаймы или взять в долг денежные средства.

6. Налоги и операционные издержки несущественны.

7. Для всех инвесторов период вложения одинаков

8. Безрисковая процентная ставка одинакова для всех инвесторов.

9. Информация свободна и незамедлительно доступна для всех инвесторов.

10. Инвесторы имеют однородные ожидания, т.е. они одинаково оценивают ожидаемую доходность, среднеквадратические отклонения и ковариации доходностей ценных бумаг.

Теорема разделения

Сделав десять вышеперечисленных предположений, можно перейти к рассмотрению результатов их применения. Сначала инвесторы анализируют ценные бумаги и определяют структуру «касательного портфеля». «Касательным портфелем» называют такой портфель, который лежит на прямой соединяющую безрисковый актив и касающейся области рисковых активов. В итоге в равновесном случае все инвесторы выбирают один и тот же «касательный» портфель. И в этом нет ничего удивительного, ведь оценки инвесторов относительно ожидаемых доходностей бумаг, их дисперсий и ковариаций, а также величины безрисковой процентной ставки полностью совпадают. К тому же линейное эффективное множество является одним и тем же для всех инвесторов, так как оно состоит из комбинаций согласованного «касательного» портфеля и безрискового заимствования или кредитования.

В связи с тем, что все инвесторы имеют одно и то же эффективное множество, единственной причиной, по которой они предпочтут различные портфели, является то, что они характеризуются различными кривыми безразличия. Таким образом, раз­личные инвесторы выбирают различные портфели из одного и того же эффективного множества, ввиду различного предпочтения ими риска и доходности. Следует отметить, однако, что, хотя выбранные портфели будут различными, каждый инвестор выберет одну и ту же комбинацию рискованных бумаг. Это означает, что каждый инвестор распреде­лит свои средства среди рискованных бумаг в одной и той же относительной пропорции, увеличивая безрисковое заимствование или кредитование с целью достижения предпочтительной для него комбинации риска и дохода. Это свойство САРМ часто называ­ют теоремой разделения (separation theorem):

Оптимальная для инвестора комбинация рискованных активов не зависит от его предпочтений относительно риска и дохода.

Другими словами, оптимальная комбинация рискованных активов может быть определена без построения кривых безразличия каждого инвестора.

Рыночный портфель

Другим важным свойством САРМ является то, что в состоянии равновесия каждый вид ценных бумаг имеет ненулевую долю в «касательном» портфеле. Это означает, что в состоянии равновесия доля любой ценной бумаги в портфеле p отлична от 0. Основанием этого свойства является теорема разделения, которая утверждает, что доля рискованных ак­тивов в портфеле каждого инвестора не зависит от предпочтения инвестора относи­тельно риска и доходности. Эта теорема основывается на том, что рискованная доля портфеля каждого инвестора представляет собой просто инвестирование в p. Если каж­дый инвестор приобретает p при этом p не включает в себя инвестиции в каждый вид бумаг, то получается, что никто не инвестировал в те бумаги, которые имели нулевую долю в p. Это должно привести к тому, что курсы ценных бумаг с нулевой долей упадут, вызвав рост их ожидаемой доходности до тех пор, пока в «касательном» портфели их доля станет отличной от 0.

Может возникнуть и другая интересная ситуация. Что произойдет, если каждый инвестор придет к выводу, что доля акций Х в «касательном» портфеле должна составлять 0,40, но по текущему курсу спрос на эти акции превышает предложение? В этом случае поток поручений на покупку будет слишком велик и брокеры будут вы­нуждены поднимать цену. Это приведет к снижению ожидаемой доходности этих акций, сделает их менее привлекательными и тем самым уменьшит их долю в «касатель­ном» портфеле до величины, при которой спрос на них будет равен предложению.

В итоге все будет сбалансировано. Когда прекратятся все изменения курсов, рынок займет положение равновесия. При этом, во-первых, каждый инвестор захочет держать определенное положительное число рискованных бумаг каждого вида. Во-вторых, те­кущий рыночный курс каждой ценной бумаги будет находиться на уровне, уравнове­шивающем спрос и предложение. В-третьих, величина безрисковой ставки будет та­кой, что общая сумма денежных средств, взятых в долг, будет равна обшей сумме денег, предоставленных взаймы. В результате соотношение долей каждой бумаги в «касатель­ном» портфеле в состоянии равновесия будет соответствовать соотношению долей бумаг в так называемом рыночном портфеле (market portfolio), которому дано следующее определение:

Рыночный портфель – это портфель, состоящий из всех ценных бумаг, в котором доля каждой соответствует ее относительной рыночной стоимости.

Причина, по которой рыночный портфель занимает центральное место в САРМ, заключается в том, что эффективное множество состоит из инвестиций в рыночный портфель в совокупности с желаемым количеством безрискового заимствования или кредитования.

Итак, регрессионная модель для i – й ценной бумаги имеет следующий вид

,

где β_iM – показатель, характеризующий взаимосвязь доходности ценной бумаги и доходности рыночного (касательного) портфеля.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Для всех ценных бумаг, обращающихся на рынке, коэффициент α_i один и тот же и равен безрисковой ставке.

Имеем

.

Рассмотрим портфель p, состоящий из i – й ценной бумаги и рыночного портфеля М в пропорции x_i и 1 - x_i соответственно. Ожидаемая доходность такого портфеля составит

,

а стандартное отклонение будет

,

где σ_im – ковариация актива i с рыночным портфелем.

Все такие портфели отображаются на кривую, соединяющую точки i и М.

Отметим следующее.

Если сформировать любой портфель, состоящий из j-й ценной бумаги и портфеля N, соответствующего точке, лежащей на кривой АВ, в пропорции y_i, то в точке N кривая, соединяющая точки j и N, будет касаться кривой АВ. Это следует из непрерывности, дифференцируемости функции и алгоритма построения кривой АВ.

Соответственно в точке x_i =0 (в точке М) наклон кривой iМ совпадает с наклоном кривой АВ в точке М.

М

N iii

Из соотношения для средней доходности портфеля p получим следующее

.

В то же время из соотношения для стандартного отклонения будем иметь

.

Известно, что

.

Тогда

.

В точке М x_i =0. Поэтому наклон кривой iM в точке М выражается следующим образом:

.

Но кривая iM касается прямой L, поэтому

.

Приравнивая правые части последних двух соотношений, получим

.

Введем обозначение

.

Тогда получим

.

Таким образом, единственным параметром, характеризующим выбранную ценную бумагу, является ее чувствительность «бета» к рыночному портфелю, а коэффициент «альфа» равен безрисковой ставке.

9.5. Модель оценки финансовых активов (САРМ)

Уравнение

Называется рыночной линией ценной бумаги. Оно определяет зависимость ожидаемой доходности ценной бумаги от ее чувствительности «бета» ( ).

Рассмотрим портфель p

{x₁,…,x_n}, .

Доходность данного портфеля выражается следующим образом

.

Тогда средняя доходность будет равна

.

Здесь

.

Т.е. получили следующее уравнение

.

Данное уравнение называется уравнением модели оценки финансовых активов. Для ее использования необходимо получить оценки параметров касательного портфеля – ожидаемой доходности и риска, а также ковариаций доходностей ценных бумаг, входящих в p с доходностью рыночного портфеля.

В качестве аппроксимации рыночного (ненаблюдаемого) портфеля обычно выбирается индекс, включающий в себя достаточно большое число акций (например, S&P 500).

В реальной ситуации инвестору доступна следующая оценка регрессионного уравнения

.

Значение параметра β в последнем уравнении должно совпадать со значением параметра в предпоследнем уравнении. Поэтому проверка адекватности модели САРМ сводится к тестированию гипотезы α = 0 последнем уравнении.

Если гипотеза α = 0 отвергается, то следует, что рынок пребывает в неравновесной ситуации. Именно в этом случае практическое значение модели финансовых активов наиболее очевидно.

Отметим также, что если доходность ценной бумаги выше той, которая задается рыночной линией ценной бумаги

,

то бумага является переоцененной, в противоположном случае – недооцененной.