Тема 6. Вероятностно-статистические методы измерения риска инвестиционного проекта
Понятие о вероятностно- статистических методах измерения риска. Исходные положения и принципы применения вероятностно- статистических методов в инвестиционной практике. Измерение инвестиционного риска в условиях независимости переменных от времени. Измерение инвестиционного риска в условиях зависимости переменных от времени. Графическая интерпретация потоков денежных средств и вероятностей их получения.
9. Применение методов исследования операций для оценивания риска инвестиционных проектов
Анализ доходности и риска инвестиционных проектов в портфеле. Эффективность инвестиционного портфеля с учетом рыночного риска. Модель оценки доходности финансовых активов.
(Н.Ш. Кремер) Каждая ценная бумага – акция, облигация, контракт и другие – в каждый момент времени обладает стоимостью, которая называется курсом и устанавливается рынком (например, как результат биржевых котировок). Даже обладая всей полнотой информации о выпустившем бумагу эмитенте, однозначно определить ее курс в заданный момент времени в будущем, как правило, невозможно. В этом случае наиболее естественно рассматривать курс ценной бумаги как значение случайной величины X.
Пусть Xt – курс ценной бумаги в момент времени t, а Xt+1 - курс ценной бумаги в момент времени t+1. Например, единицей времени может быть промежуток между котировками. Рассмотрим случай, когда момент времени t уже наступил, а момент t+1 еще не наступил. Рассмотрим следующую величину
.
Так как Xt+1 – случайная величина, то rt – тоже случайная величина. Она называется доходностью ценной бумаги.
Значение именно этой величины определяет привлекательность ценной бумаги для инвестора. И одна из главных задач инвестиционного анализа состоит в возможно более точном предсказании величины rt.
9.1. Регрессионные модели
Модели, рассматриваемые в инвестиционном анализе, связывают случайную величину r с величинами, которые объективно характеризуют инвестиционный рынок в целом. Такие величины называются факторами. В зависимости от постановки задачи факторы могут считаться как случайными, так и детерминированными.
В самом простом случае выделяется один фактор. Тогда статистическая модель имеет следующий вид:
.
Здесь α и β – постоянные неизвестные параметры,
ε – случайная
величина, удовлетворяющая условию
,
где MF(ε) – условное математическое ожидание случайной величины ε относительно F.
Определение.
- в случае, если ε
– дискретная случайная величина;
- в случае, если ε
– непрерывная случайная величина.
Из предположения о равенстве 0 условного математического ожидания следует, что и безусловное математическое ожидание равно 0.
Это следует из
равенства
Докажем это равенство для случая непрерывной случайной величины ε.
Определения.
Плотность вероятности условного распределения ε относительно случайной величины F выражается следующей формулой
,
где φ(ε, F) – совместная плотность распределения случайных величин ε и F.
Аналогично
.
То есть, условная плотность вероятности одной из случайных величин равна отношению совместной плотности 2-х случайных величин к плотности вероятности другой случайной величины.
Тогда имеем следующее
.
С другой стороны
,
поскольку
.
Таким образом
.
Предположим, что F рассматривается как случайная величина и определим ковариацию случайных величин ε и F.
Определение.
Ковариацией КεF случайных величин ε и F называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, т.е.
или
,
где
.
Из определения вытекает следующее
.
Т.е.
.
Таким образом
.
Значения коэффициентов α и β можно выразить через числовые характеристики r и F.
.
Отсюда
,
где D(F) – дисперсия случайной величины F.
Рассмотрим математическое ожидание случайной величины r. Получим
.
Отсюда
.
Коэффициент β называется чувствительностью доходности ценной бумаги к фактору F. Коэффициент α называется сдвигом.
В классическом регрессионном анализе значения факторов F значения факторов F считаются детерминированными величинами, т.е. статистическая модель имеет следующий вид
,
где t=1,…,n – моменты времени, которые интерпретируются как номера наблюдения; F1,…,Fn – известные значения факторов; rt – наблюдаемые выборочные значения случайной величины r; α и β – неизвестные параметры. Их оценки можно построить методом наименьших квадратов
,
где оценки параметров обозначены значком ^.