2.Теоретические вопросы

Общая задача математического программирования

L : f(x) ! extr;

x 2 X En

G : (gi(x) = 0;

(6)

i =

r +

1; n; m r < n

gi(x) 6 0;

i = 1; r;

m

*

*

*

*

*

2

*

*

(7)

: frx (x

) = 0;

gi(x

) = 0; i = 1; rg

9 0

& 9

; 0

;

i

> 0; i > 0; i

=0

Xi

Достаточное условие минимума первого порядка.

Пусть (x

*

*

) удовлетворяет усло-

;

вию стационарности обобщённой функции Лагранжа при 0* 6=,0

активных ограничений

неравнеств в точке x * и ограничений равенств совпадает с числом n. Если gi(x): * > 0

)

x * точка условного локального минимума задачи 6.

P

8

i

Достаточное условие минимума второго порядка.

Пусть (x

*

*

) удовлетворяет усло-

;

*

.0Если d

2

(x

*

*

) > 0

вию стационарности обобщённой функции Лагранжа при 0 6=

;

для всех dx 6= 0таких, что для активных ограничений неравенств d gi(x *) = 0; i*

> 0 &

d gi(x *) 6 0; i* = 0 ) x * точка локального минимума.

x0

(x *; *) > 0;

igi(x *) = 0; i =

1; r

x0

(x *; *) 6 0;

x * < 0 & * < 0

Пусть L задача квадратичного программирования

L : f(x) = minfx TAx + bTxg

G : ngi(x) = Cx 6 d

(8)

Функция Лагранжа запишется в виде

= x TAx + bTx + Cx d

*

(9)

Необходимые и достаточные условия оптимальности x

принимают следующий вид

v = rx > 0;

(10)

(11)

y = Cx d 6 0;

x v = 0;

x < 0;

(12)

(13)

y = 0;

< 0