3.Численный метод нахождения экстремума
Вкачестве численного метода нахождения экстремума был выбран метод Ньютона. В приложении приведён текст программы.
Описание метода Ньютона. Задаётся начальная точка x0, пока не выполнен критерий
останова, вычисляется приближение xi+1 = xi f0(xi). Для многомерного случая формула f00(xi)
выглядит следующим образом
rf x j + H f xj x j+1 x j = 0 |
(2) |
Программная реализация. В приложении B приложен текст программы для нахождения минимума методом Ньютона. В приложении C приложен текст теста программы для нахождения минимума методом Ньютона.
Для достоверности приведены данные о градиенте, гессиане и текущем векторе по итерациям:
x 0 = |
0 0 |
|
200 0 |
|
|
|
|||
f(x |
0) = |
|
|
|
|
|
|||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H f(x 0) = |
|
200 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
x 1 = |
1 0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
f(x |
1) = |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H f(x 1) = |
|
212 |
4 |
|
|
||||
x 2 = |
1 1 |
4 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
06 6:6E |
|
07 |
||||
f(x |
2) = |
2:2E |
|
|
|||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
||
H f(x 2) = |
|
208 |
4 |
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|||
x 3 = 1 1
Очевидно, что точка 1 1 является минимумом функции, так как последние две итерации не отличаются друг от друга.
Дополнительное задание Во время разработки программной реализации метода Ньютона для минимизации функции были разработаны классы для работы с векторами и матрицами, которые включают в себя необходимые операции. См. приложение B: строка 118 – 311.
7