4.3.Метод матриц (табличный метод)

Этот метод используется для оценки работоспособности многофункциональных систем (М.Ф.С.). Для оценки работоспособности М.Ф.С. целесообразно разделить такую систему по её функциональным назначениям и оценивать работоспособность раздельно по каждой функции, а затем по совокупности функций.

Так как при анализе работоспособности М.Ф.С. со сложной структурой появляется большое число зависимостей между состояниями элементов системы и состояниями самой системы, то целесообразно в этом случае рассмотренные ранее методы структурных и логических схем дополнить составлением полной логической матрицы работоспособных состояний системы.

4.3.1. Последовательность работы при расчёте работоспособности м.Ф.С.

1.Анализируют все возможные состояния элементов системы и определяют вероятности этих состояний. Составляют таблицу с этими состояниями (таблица состояний элементов).

2.Составляют полную логическую матрицу работоспособности системы (или полную логическую матрицу отказовых состояний системы) по всем выполняемым системой функциям.

В матрице для каждого состояния элементов определяют состояние по выполнению каждой функции. При этом выполнение функции при данном состоянии обозначают цифрой 1, а невыполнение цифрой 0.

3.При полностью заполненной матрице определяют интересующие события по выполнению функций.

Чтобы определить событие, заключающееся в безотказной работе системы по всем выполняемым функциям, надо сложить те события по горизонтальным строкам, в которых стоят только единицы.

Чтобы определить событие, заключающееся в безотказной работе системы по какой-либо определённой функции, надо сложить те события, которые по данной вертикали определены единицей.

4. По обычным правилам переходят от уравнения в событиях к вероятностному уравнению для определения вероятности безотказной работы системы или какой-либо её отдельной функции.

Пример. Рассчитать вероятность безотказной работы стрелового самоходного

крана с гидроприводом механизмов на шасси автомобиля по совокуп-

ности К функций, выполняемых системами крана (подъём груза Г,

изменение вылета стрелы С, вращение поворотной части крана В,

перемещение крана Д ) и по каждой функции отдельно.

Решение.

1.Таблица состояний элементов систем крана

Номер Элементы системы Состояние системы Обозначение Вероятность

элемен. состояний состояния

1 2 3 4 5

1 Двигатель шасси Безотказная работа х₁ р₁ = 0,95

крана Отказ х₁ q₁ = 0,05

2 Редуктор отбора Безотказная работа х₂ р₂ = 0,90

мощности к насо- Отказ 1 вида (не вкл.привод) х_2,1 q_2,1 = 0,03

cу подъёма груза Отказ 2-го вида (не выкл. пр.) х_2,2 q_2,2 =0,07

3 Механизм Безотказная работа х₃ р₃ = 0,97

подъёма груза Отказ 1 вида (течь в ГС) х_3,1 q_3,1 = 0,02

Отказ 2-го вида (все пр. отк.) х_3,2 q_3,2 = 0,01

4 Ред –р отбора мощн. Безотказная работа х₄ р₄ = 0,90

к насосам мех-ма Отказ 1 вида (не вкл. привод) х_4,1 q_4,1 = 0,03

изменения вылета Отказ 2-го вида (не выкл. пр.) х_4,2 q_4,2 =0,07

стрелы и мех-ма

вращения

1.Таблица состояний элементов систем крана (продолжение)

Номер Элементы системы Состояние системы Обозначение Вероятность

элемен. состояний состояния

1 2 3 4 5

5 Мех-зм изменения Безотказная работа х₅ р₅ = 0,97

вылета стрелы Отказ 1 вида (течь в ГС) х_5,1 q_5,1 = 0,02

Отказ 2-го вида (все проч. отк.) х_5,2 q_5,2 = 0,01

6 Мех-зм вращения Безотказная работа х₆ р₆ = 0,96

поворотной части Отказ 1 вида (течь в ГС) х_6,1 q_6,1= 0,02

крана Отказ 2-го вида ( все проч. отк.) х_6,1 q_6,2 = 0,02

7 Трансмиссия и Безотказная работа х₇ р₇ = 0,95

и ходовая часть шасси Отказ х₇ q₇ = 0,05

Примечание: в таблице приведен сокращённый вариант состояний элементов.

2.Полная логическая матрица состояний крана по возможности выполнения отдельных функций (матрица работоспособности системы)

Событие Состояние Выполнение функций

элементов٭ │ Г │ С │ В │ Д

А₁ Все элементы 1 1 1 1

исправны

А₂ х₁ 0 0 0 0

А₃ х_2,1 0 1 1 1

А₄ х_2,2 1 1 1 1

А₅ х _3,1 0 0 0 1

А₆ х_3,2 0 1 1 1

А₇ х_4,1 1 0 0 1

А₈ х_4,2 1 1 1 1

А₉ х_5,1 0 0 0 1

А₁₀ х_5,2 0 0 1 1

А₁₁ х_6,1 0 0 0 1

А₁₂ х_6,2 1 1 0 0

А₁₃ х₇ 1 1 1 0

٭для событий А₂…А₁₃ все остальные элементы исправны

3.Составим уравнение для события безотказной работы крана по совокупности всех функций

К = А₁+ А₄ + А₈

4.Составляем уравнения для событий безотказной работы крана по каждой функции отдельно

Г = А₁ + А₄ + А₇ + А₈ + А₁₂ + А₁₃; С = А₁ + А₃+ А₄+ А₆+ А₈+ А₁₂+ А₁₃;

₁₁

В = А₁+ А₃+ А₄+ А₆+ А₈+ А₁₀+ А₁₃; Д = А₁ + ∑ А_i .

ⁱ⁼³

5. Составляем вероятностные уравнения для определения вероятности безотказной работы крана по совокупности функций и по каждой функции отдельно

Р(К) = Р(А₁)+Р(А₄)+Р(А₈);

Р(Г) = Р(А₁)+Р(А₄)+Р(А₇)+Р(А₈)+Р(А₁₂)+Р(А₁₃);

Р(С) = Р(А₁)+Р(А₃)+Р(А₄)+Р(А₆)+Р(А₈)+Р(А₁₂)+Р(А₁₃);

Р(В) = Р(А₁)+Р(А₃)+Р(А₄)+Р(А₆)+Р(А₈)+Р(А₁₀)+Р(А₁₃);

Р(Д)=Р(А₁)+Р(А₃)+Р(А₄)+Р(А₅)+Р(А₆)+Р(А₇)+Р(А₈)+Р(А₉)+Р(А₁₀)+Р(А₁₁).

6.Определяем вероятности событий А₁, А₂, …, А₁₃ с учётом данных «Таблицы состояний…» и «Полной логической матрицы состояний…»

Р(А₁)=р₁∙р₂∙р₃∙р₄∙р₅∙р₆∙р₇ = 0,95∙0,90∙0,97∙0,90∙0,97∙0,96∙0,95 = 0,660;

Р(А₂)= q₁∙р₂∙р₃∙р₄∙р₅∙р₆∙р₇ = 0,05∙0,90∙0,97∙0,90∙0,97∙0,96∙0,95 = 0,035;

Р(А₃) = р₁∙q_2,1∙р₃∙р₄∙р₅∙р₆∙р₇ = 0,95∙0,03∙0,97∙0,96∙0,97∙0,96∙0,95 = 0,022;

Р(А₄) = р₁∙q_2,2∙р₃∙р₄∙р₅∙р₆∙р₇ = 0,95∙0,07∙0,97∙0,96∙0,97∙0,96∙0,95 = 0,051;

Р(А₅) = р₁∙р₂∙q_3,1∙р₄∙р₅∙р₆∙р₇ = 0,95∙0,90∙0,02∙0,90∙0,97∙0,96∙0,95 = 0,013;

Р(А₆) = р₁∙р₂∙q_3,2∙р₄∙р₅∙р₆∙р₇ = 0,95∙0,90∙0,01∙0,90∙0,97∙0,96∙0,95 = 0,007;

Р(А₇) = р₁∙р₂∙р₃∙q_4,1∙р₅∙р₆∙р₇ = 0,95∙0,90∙0,97∙0,03∙0,97∙0,96∙0,95 = 0,022;

Р(А₈) = р₁∙р₂∙р₃∙q_4,2∙р₅∙р₆∙р₇ = 0,95∙0,90∙0,97∙0,07∙0,97∙0,96∙0,95 = 0,051;

Р(А₉) = р₁∙р₂∙р₃∙р₄∙q_5,1∙р₆∙р₇ = 0,95∙0,90∙0,97∙0,90∙0,02∙0,96∙0,95 = 0,013;

Р(А₁₀) = р₁∙р₂∙р₃∙р₄∙q_5,2∙р₆∙р₇ = 0,95∙0,90∙0,97∙0,90∙0,01∙0,96∙0,95 = 0,007;

Р(А₁₁) = р₁∙р₂∙р₃∙р₄∙р₅∙q_6,1∙р₇= 0,95∙0,90∙0,97∙0,90∙0,97∙0,02∙0,95 = 0,014;

Р(А₁₂) = р₁∙р₂∙р₃∙р₄∙р₅∙q_6,2∙р₇ = 0,95∙0,90∙0.97∙0,90∙0,97∙0,02∙0,95 = 0,014;

Р(А₁₃) = р₁∙р₂∙р₃∙р₄∙р₅∙р₆∙q₇ = 0,95∙0,90∙0,97∙0,90∙0,97∙0,96∙0,05 = 0,035.

7.Определяем вероятности безотказной работы крана по совокупности всех функций и по каждой функции отдельно

Р(К) = Р(А₁)+Р(А₄)+Р(А₈) = 0,660+0,051+0,051= 0,762;

Р(Г) = Р(А₁)+Р(А₄)+Р(А₇)+Р(А₈)+Р(А₁₂)+Р(А₁₃) = 0,660+0,051+0,022+0,051+

+0,014+0,035 = 0,833;

Р(С) = Р(А₁)+Р(А₃)+Р(А₄)+Р(А₆)+Р(А₈)+Р(А₁₂)+Р(А₁₃) = 0,660+0,022+0,051+

+0,007+0,051+0,014+0,035 = 0,840;

Р(В) = Р(А₁)+Р(А₃)+Р(А₄)+Р(А₆)+Р(А₈)+Р(А₁₀)+Р(А₁₃) = 0,660+0,022+0,051+

+0,007+0,051+0,007+0,035 = 0,833;

Р(Д) = Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃)+Р(А₄)+Р(А₅)+Р(А₆)+Р(А₇)+Р(А₈)+Р(А₉)+Р(А₁₀)+Р(А₁₁)

=0,660+0,022+0,051+0,013+0,007+0,022+0,051+0,013+0,007+0,014 = 0,086.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хазов Б.Ф., Дидусёв Б.А. Справочник по расчёту надёжности машин на стадии проектирования. М.: Машиностроение, 1986. – 224с.

2. Дидусёв Б.А. Основы работоспособности технических систем. Часть 1. Качество и надёжность. Комплекс свойств, обеспечивающих работоспособность технических систем. Учебное пособие. М.: МГТУ «МАМИ», 2009. – 22с.

3. Дидусёв Б.А. Основы работоспособности технических систем. Часть 2. Математический аппарат исследования надёжности технических систем. Статистические и вероятностные оценки надёжности систем. Учебное пособие.М.: МГТУ «МАМИ», 2009.- 38с.

4. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надёжности. СПб.:БХВ-Петербург,2006.- 704с.

Борис Андреевич Дидусёв

Основы работоспособности технических систем. Часть 3. Показатели надёжности технических систем. Оценка систем. Учебное пособие. Специальность 19060365 «Сервис транспортных и технологических машин и оборудования».

Подписано в печать Заказ Тираж

Усл.п.л. - Уч.-изд. л.-

Бумага типографская Формат 60х90 1/16

____________________________________________________________________

МГТУ «МАМИ», Москва, 107023 Б.Семёновская ул., 38.