4.2.3.Определение безотказности системы с помощью логических схем.

Функции алгебры логики могут быть записаны в строку, в виде схемы, или в виде логических матриц. В логической матрице логические умножения расположены в строке, а логические сложения – в столбце. К логическим матрицам применимы преобразования алгебры логики.

С помощью уравнений алгебры логики можно описать условия работоспособности (или отказа) технического устройства любой сложности.

При записи функции алгебры логики в виде схемы ФАЛ принцип построения схемы такой же, что и схемы последовательно –параллельной структуры, при этом последовательному соединению соответствует логическое умножение событий, а параллельному – логическое сложение событий.

Последовательные соединения формируют горизонтальные связи, а параллельные - вертикальные. Например, для функции алгебры логики, записанной в строку S = AC + BC + DE, схема ФАЛ имеет вид, представленный на рис. 4,

S–––_|→A–––––––C

|

|→B–––––––C

|

^|→D–––––––E

Рис.4. Схема ФАЛ

а логическая матрица имеет вид

AC

S = │ BC │∙

DE

Последовательность расчёта безотказности с использованием функций алгебры логики аналогична последовательности расчёта с использованием последовательно-параллельного соединения. При этом на основании сформулированных условий работы обычно строят схему ФАЛ или логическую матрицу, составляют уравнение алгебры логики (уравнение событий безотказной работы системы) и затем - расчётное вероятностное уравнение.

При переходе от уравнения событий к вероятностному уравнению необходимо соблюдать правила определения вероятностей произведения и суммы событий, учитывая, что эти события могут быть зависимыми и независимыми, совместными и несовместными.

Правило умножения вероятностей событий имеет вид:

для зависимых событий

Р(А₁А₂…А_n) = Р(А₁) Р(А₂/А₁) Р(А₃/ А₁А₂)…Р(А_n/А₁А₂…А_n-1), (48)

где

Р(А_n/А₁А₂…А_n-1) – условная вероятность появления события А_n , определённая при условии, что произошли события А₁, А₂,…, А_n-1 ;

для независимых событий

P(А₁А₂…А_n )= Р(А₁) Р(А₂)…Р(А_n). (49)

Правило сложения вероятностей событий имеет вид:

для несовместных событий

Р(А₁ + А₂ + …+ А _n ) = Р(А₁ ) + Р(А₂ ) + …+ Р (А_N ); (50)

для двух совместных независимых событий

Р(А₁ +А₂ ) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁) Р(А₂) (51)

для двух совместных зависимых событий

Р(А₁ +А₂ ) = Р(А₁ ) + Р(А₂ – Р(А₁) Р(А₂ /А₁); (52)

для трёх совместных независимых событий

Р(А₁ + А₂ + А₃ ) = Р(А₁ )+ Р(А₂) + Р(А₃ ) – Р(А₁ А₂ ) – Р(А₁ А₃ ) – Р(А₂ А₃ ) + +Р(А₁ А₂ А₃ ). (53)

Таким образом, вероятность произведения независимых событий и вероятность суммы несовместных событий определить легко. Этим можно воспользоваться, например, при сложении совместных событий: чтобы не производить громоздких вычислений, лучше перейти к противоположному событию

Р(А₁ + А₂ + …+А_n ) = 1 – Р(А₁ А₂ …А_n ).

Независимые события А и В при ненулевых вероятностях Р(А)и Р(В) всегда совместны. Однако, совместность событий не обязательно влечёт за собой их независимость.

Зависимые события А и В при ненулевых вероятностях Р(А) и Р(В) могут быть как совместными, так и несовместными. Несовместные события А и В при ненулевых вероятностях Р(А) и Р(В) всегда зависимы.

При составлении функций алгебры логики для оценки безотказности систем можно применять два метода.

Первый метод состоит в определении всех возможных минимальных условий по безотказности элементов, которые обеспечивают работоспособное состояние системы.

Второй метод состоит в рассмотрении всех возможных несовместных работоспособных состояний системы.

Первый метод, как правило, короче, но в этом случае требуется учитывать совместность событий работоспособных состояний системы. Второй метод более громоздкий, но практически безошибочен.

Различие методов видно на следующем примере. Из анализа функционирования системы (рис. 5) определены условия её работоспособности: работоспособность сохраняется при сохранении работоспособности любых двух элементов системы.

_|––––––––––|––––––––––_|

А В С

^|––––––––––|––––––––––^|

Рис.5. Принципиальная схема системы

Воспользуемся первым методом составления функции алгебры логики

или логической матрицы. Логическая матрица представлена на рис.6.

AB

S = │ ВC │

AC

Рис.6. Логическая матрица для первого метода расчёта

Уравнение событий имеет вид S = АВ + ВС + АС.

Вероятность безотказной работы системы

Р(S) = Р(АВ) + Р(ВС + АС) – Р[ АВ(ВС + АС)] =

= Р(А) Р(В) + Р(В)Р(С) + Р(А)Р(С) – Р(А)Р(В)Р(С) – Р(А)Р(В)Р(С) =

= Р(А) Р(В) + Р(В) Р(С) + Р(А) Р(С) – 2Р(А) Р(В) Р(С).

Если Р(А) = Р(В) = Р(С) = р, то Р(S) = 3р² - 2р³ .

Воспользуемся вторым методом. Логическая матрица представлена на рис.7.

ABС

S = │ ABC │

ABС

АBС

Рис.7. Логическая матрица для второго метода расчёта

Уравнение событий S = АВС + АВС + АВС + АВС.

Вероятность безотказной работы системы

Р(S) = Р(АВС)+ Р(АВС )+ Р(АВС) + Р(АВС)= Р(А) Р(В) Р(С) +Р(А)Р(В)Р(С) +

+ Р(А)Р(В)Р(С) + Р(А) Р(В) Р(С).

Если Р(А) = Р(В) = Р(С), то Р(А) = Р(В) = Р(С) = q, так как если А, В , С – события , заключающиеся в том, что эти элементы системы работоспособны, то

А, В, С – события, заключающиеся в том, что произошёл отказ соответствующего элемента. Поскольку каждый элемент рассматривается только в двух возможных состояниях, то Р(А) + Р(А) = p + q = 1.

При втором методе окончательно результат выражается в виде Р(S) = p³ + 3p²q.

Так как в большинстве случаев перебор вариантов работоспособных состояний в системах транспортных машин не очень велик, то рекомендуется применять второй метод.