4.2.2.Использование алгебры логики при расчёте работоспособности системы.

Поскольку при использовании метода логических схем оперируют событиями, действия над которыми подчиняются алгебре логики (булевой алгебре), то приведём сведения, необходимые для использования алгебры логики при расчёте безотказности систем.

По отношению к системе рассматривают два несовместных события, образующих полную группу событий:

-событие А, заключающееся в сохранении работоспособности системы при определённых условиях её использования в течение определённой наработки;

-событие А, противоположное событию А и заключающееся в появлении отказа системы.

Так как эти два события несовместные и образуют полную группу событий, то

Р(А) + Р(А) = 1,

где Р(А) - вероятность безотказной работы системы; Р(А) – вероятность отказа системы.

Такую же группу событий рассматривают для каждого элемента системы, однако, если отказы элемента по-разному влияют на работоспособность системы, то в событии отказа элемента может быть выделено несколько неработоспособных состояний. Разнородные отказы, возникающие в работе элемента, можно рассматривать как несовместные события, поскольку появление в одном элементе одновременно двух видов отказов маловероятно и этой вероятностью можно пренебречь.

Над событиями (множеством событий) можно производить такие же действия, как это производится в теории множеств в соответствии с законами алгебры логики.

В алгебре логики рассматриваются три основные логические операции:

• сложение;

• умножение;

• отрицание.

[В литературе по теории множеств, математической логике и теории надёжности можно встретить также следующие названия для логических операций:

сложение – дизъюнкция, объединение, соединение (обозначения U, V);

умножение – конъюнкция, пересечение (обозначения ∩, Λ, &);

отрицание - дополнение (обозначение ′ , например, отрицание события А′ )].

В обычной алгебре имеются аналоги первых двух операций алгебры логики, а аналога отрицания нет. Вычитание и деление в алгебре логики отсутствуют.

Логическим сложением двух событий А и В называют событие С, которое произойдёт тогда и только тогда, когда произойдёт или событие А, или событие В, или оба вместе, если оба события совместные.

Обозначают логическое сложение записью

С = А + В (следует читать «А или В»).

Логическим умножением двух событий А и В называют событие С, которое произойдёт тогда и только тогда, когда одновременно произойдут событие А и событие В.

Обозначают умножение выражением

С = АВ (следует читать «А и В»).

Отрицанием события А называют событие А̃̃, которое произойдёт тогда и только тогда, когда не произойдёт событие А.

Обозначают отрицание А̃ (следует читать «не А»).

Основные правила действий в алгебре логики аналогичны операциям с натуральными числами. Однако имеются и различия.

Для алгебры логики используют сочетательный (ассоциативный) закон

А = (В + С) = (А + В) + С = А + В + С; А(ВС) = (АВ)С = АВС (39)

и переместительный (коммутативный) закон

А + В = В + А; АВ = ВА (40)

и, как следствие из определения, в алгебре логики А + А = А , а не два А, как в обычной алгебре (действительно, по смыслу сложения должно произойти событие А или А , то есть речь здесь только о событии А);

также в алгебре логики АА = А, а не А², как в обычной алгебре (по смыслу умножения событий должно произойти событие А и событие А, то есть, действительно, речь опять только о событии А).

Для логического умножения и логического сложения выражения, в которые входят операции сложения и умножения, можно писать без скобок (вследствие сочетательного и переместительного законов). Связь через знак умножения считают более тесной, чем через знак сложения. Таким образом, в алгебре логики это правило такое же, как и в обычной алгебре. Следовательно, вместо (АВ) + С можно писать АВ + С.

Для алгебры логики действуют распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения

А(В + С) = (АВ) + (АС) (41)

и распределительный закон сложения относительно умножения

А + (ВС) = (А + В) (А + С), (42)

который не имеет аналогии в обычной алгебре, так как там

а + bс ≠ (а + b) (a+ c).

Все три перечисленных закона симметричны, то есть из любого закона для сложения (умножения) можно получить путём замены знаков сложения знаками умножения и знаков умножения знаками сложения соответствующий закон для умножения (сложения).

Например, для выражения А(В + С) = (АВ) + (ВС) после замены знаков получим А + (ВС) = (А + В )(А + С).

В алгебре логики действует также закон инверсий (двойственности), по которому можно заменять отрицание сложения умножением отрицаний и отрицание умножения сложением отрицаний:

(А̃ ̃+̃ ̃В̃) = А̃ В̃; А̃ ̃В̃ = А̃ + В̃. (43)

Так как отрицание отрицания события есть само событие, то есть А = А, то с учётом закона инверсии ___

АВ = (А̃ + В̃); А + В = (А̃В̃). (44)

На основании последних зависимостей формируется теорема де Моргана, по которой для любой функции алгебры логики может быть получено отрицание этой функции, для чего события должны быть заменены их отрицаниями, а знаки логического сложения знаками логического умножения и наоборот.

Например, для функции

S = AB +А̃ ̃BC + BC̃ + B̃C̃D̃

в соответствии с теоремой

S̃ = (A + B̃) (A + B̃ + C̃) (B̃ + C) (B + C + D).

Используя указанные четыре закона, можно также определить следующие отношения, позволяющие упрощать функции алгебры логики:

(АВ) + А = А; А(В + А) = А; (45)

(АВ) + (АВ̃ ) = АВ +АВ̃ = А(В + В̃) =А•1 = А;

} (46)

(АВ) + (АВ) = АВ + АВ = В (А + А) = В•1 = В ;

А(А + В) = (АА) + (АВ) = 0 + АВ = АВ;

} (47)

А + (АВ) = (А + А ) ∙ (А + В ) = 1•(А + В ) = А + В.