7) Дифференциальные уравнения 27--30

7.1 Некоторые виды диффуров 1-го порядка f(x,y,y’)=0:

1. С разделяющимися переменными: если все х и у можно перегнать по разные стороны равенства.

2. Однородные: если при замене x  kx и у  kу уравнение остается верным.

3. В полных дифференциалах: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 если выполняется . (Это значит, что левая часть уравнения представима в виде du(x,y).)

4. Линейное: y’+P(x)y=Q(x) (если Q(x)=0, то линейное однородное, при этом разделяются переменные).

5. Уравнение Бернулли: y’+P(x)y=Q(x)y^m.

7.2 Общее решение диффура содержит столько произвольных констант, каков его порядок. Чтобы из зафиксировать нужны начальные условия (значения искомой функции и, возможно, ее производных в некоторой точке). Это называют задачей Коши.

7.3 Простейшие случаи понижения порядка диффура: если уравнение не содержит независимой переменной х, подойдет замена z=y’ с новым аргументом у; если уравнение не содержит искомой функции у, подойдет замена z=y^(k) – низшая производная уравнения.

7.4 Линейный однородный диффур n-го порядка с постоянными коэффициентами:

y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_ny=0 имеет общее решение вида , где - корни характеристического уравнения кратности k_i, P_i(x) – многочлены степени k_i-1 с произвольными коэффициентами. Приведен общий вид решения в комплексном пространстве. Если требуется вещественное решение, то нужно использовать формулу Эйлера

exp(a+ib)=expa (cosb + i sinb) . В результате, каждая пара сопряженных комплексных корней порождает в решении слагаемые . Если дано уравнение 2-го порядка, то получим квадратное характеристическое уравнение. Если дискриминант окажется отрицательным, то надо извлечь корень в комплексных числах и выписать решение через cos и sin.

7.5 Линейный НЕоднородный диффур n-го порядка с постоянными коэффициентами решается аналитически, если правая часть имеет вид квазимногочлена: y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_ny=P_r(x)e^mx , где P_r(x) – многочлен степени r. Тогда частное решение уравнения имеет вид: y₀=x^kQ_r(x)e^mx , где Q_r(x) - многочлен степени r, коэффициенты которого находятся методом неопределенных коэффициентов, k – кратность корня m (если m не корень, то k=0). Полное решение получается добавлением к частному решению неоднородного уравнения общего решения однородного (см.п.7.4). Очевидно, под определение квазимногочлена попадает и комбинация sin и cos (возможно, умноженных на многочлены). Это следует из формулы Эйлера (см.п.7.4).

8) Дискретная математика 31--34

9) Численные методы 35—38

9.1 Если на концах отрезка непрерывная функция имеет разные знаки, то внутри отрезка имеется хотя бы один корень. Этот факт лежит в основе метода половинного деления (бисекции) при решении уравнения f(x)=0. В качестве исходного выбирается отрезок с разными знаками функции на концах. Затем находится знак в середине отрезка и из 2-х половинок выбирается та, у которой разные знаки на концах. Далее процесс повторяется пока не достигается нужная точность (оценивается по длине очередного отрезка).

9.2 Решение диффуров с помощью степенных рядов. Подставляют в диффур общее разложение искомой функции в степенной ряд, например y=C₀+C₁x+C₂x²+…+C_nxⁿ+ …, берут все производные, приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х, и далее, решая алгебраические уравнения последовательно находят коэффициенты C_n. Соответственно, если подставить правильное разложение в диффур, то при одинаковых степенях х коэффициенты будут группироваться в тождества.

9.3 Пусть надо решить задачу Коши: y’=f(x,y) при y(x₀)=y₀. Простейший метод Эйлера дает таблицу значений искомой функции у посредством итераций: y_n+1=y_n+ h f(y_n,x_n) , где h – малый шаг метода.

9.4 Интерполяционная формула Лагранжа. Пусть дана таблица значений функции f(x_k) в n+1 штуках точек x_k (k=0, … , n). Тогда функцию можно приближенно описать многочленом степени n: , где .