Лабораторная работа №2
Тема: «Аппроксимация экспериментальных данных линейной зависимостью»
Цель работы – получить уравнение аппроксимирующей прямой и оценить достоверность аппроксимации.
Исходные данные: набор экспериментальных точек с координатами, приведенный в таблице 2.1.
Таблица 2.1.
№ точки |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
X |
10,674 |
9,102 |
11,165 |
2,7446 |
5,0509 |
14,958 |
6,8416 |
Y |
15,536 |
13,44 |
15,403 |
5,2794 |
8,1389 |
20,876 |
10,714 |
Необходимо получить уравнение аппроксимирующей прямой вида:
y=ax+b, (2.1)
где a, b – неизвестные коэффициенты.
Для определения неизвестных коэффициентов a и b используется способ наименьших квадратов, математически описываемый:
(2.2)
где yi, xi – соответственно ордината и абсцисса i-той экспериментальной точки точки.
В результате математических преобразований (дифференциального выражения (2.2) и решение полученной системы относительно неизвестных a и b формулы для определения искомых коэффициентов имеют вид:
,
(2.3)
,
(2.4)
где
n
– количество экспериментальных точек,
n=7;
– среднее арифметическое значение для
абсцисс экспериментальных точек.
Выполнение работы:
1. По формулам (2.3) и (2.4) определяем неизвестные коэффициенты a и b:
а=((10,674*15,536+9,102*13,44+11,165*15,403+2,7446*5,2794+5,0509*8,1389+14,958*20,876+6,8416*10,714)-(((10,674+9,102+11,165+2,7446+5,0509+14,958+6,8416)/7)*(15,536+13,44+ +15,403+5,2794+8,1389+20,876+10,714))/((10,6742+9,1022+11,1652+2,74462+ 5,05092+14,9582+6,84162)- ((10,674+9,102+11,165+2,7446+5,0509+14,958+6,8416)/7)* (10,674+9,102+11,165+2,7446+5,0509+14,958+6,8416))=1,2636;
в=(1/7*(10,6742+9,1022+11,1652+2,74462+5,05092+14,9582+6,84162)- 1/7*(10,674+9,102+11,165+2,7446+5,0509+14,958+6,8416)* (10,674*15,536+9,102*13,44+11,165*15,403+2,7446*5,2794+5,0509*8,1389+14,958*20,876+6,8416*10,714))/((10,6742+9,1022+11,1652+2,74462+5,05092+14,9582+6,84162) -1/7*(10,674+9,102+11,165+2,7446+5,0509+14,958+6,8416)2)=1,8685
2. Записываем полученное уравнение аппроксимирующей прямой :
y=1,2636x+1,8685.
3. На графике наносим экспериментальные точки и строим аппроксимирующую прямую
Рисунок 2.1 – График аппроксимирующей прямой
4. Определяем теоретическое значения y при экспериментальных х по формуле: y=1,2636+1,8685
yТi=1,2636xi+1,8685 (2.5)
По формуле (2.5) получим:
yT1=1,2636·10,674+1,8685= 15,3561
yT2=1,2636·9,102+1,8685= 13,3697
yT3=1,2636·11,165+1,8685= 15,9765
yT4=1,2636·2,7446+1,8685= 5,3365
yT5=1,2636·5,0509+1,8685=8,2508
yT6=1,2636·14,958+1,8685= 20,7694
yT7=1,2636·6,8416+1,8685=10,5135
5. Определяем разности между экспериментальными и теоретическими значениями у по формуле:
∆yi= yТi – yЭi (2.6)
По формуле (2.6) посчитаем:
∆y1= 15,3561-15,536=-0,1799
∆y2= 13,3697-13,44=-0,0703
∆y3= 15,9765-15,403=0,5735
∆y4=5,3365-5,2794=0,0571
∆y5= 8,2508-8,1389=0,1119
∆y6=20,7694-20,876=-0,1066
∆y7= 10,5135-10,714=-0,2005
6. Определяем показатель достоверности аппроксимации по формуле:
(2.7)
R2=(-0,1799)2+(-0,0703)2+0,57352+0,05712+0,11192+(-0,1066)2+(-0,2005)2=0,43
Вывод: в результате аппроксимации экспериментальных точек было получено уравнение прямой, определен показатель достоверности аппроксимации R2=0,43.