8.8. Условия жесткости изгибаемых стержней

Условия жесткости элементов конструкций при прямом плоском изгибе:

- по углам поворота сечений

(рад),

- по прогибам сечений

(м, см, мм)

где и – допускаемые значения соответственно угла поворота и прогиба расчетного сечения элемента конструкции;

и v – расчетные значения соответственно угла поворота и прогиба сечения.

Значения и приводятся в справочниках для конкретных элементов инженерных конструкций.

Контрольные вопросы:

1) Запишите и объясните дифференциальное уравнение деформированной центральной оси изгибаемого элемента конструкции при прямом плоском изгибе.

2) Как определяются перемещения сечений балок на основе дифференциального уравнения ее деформированной оси при прямом плоском изгибе?

3) Запишите и объясните обобщенное выражение функции внутренних изгибающих моментов в расчетном сечении изгибаемого стержня.

4) Запишите и объясните формулы условий жесткости изгибаемого стержня.

ГЛОССАРИЙ

	Угол поворота сечения
	Прогиб сечения
	Условие жесткости балки

Рекомендуемая литература

1. Александров А.В. и др. Сопротивление материалов. Учебник для вузов – М.: Высш. шк., 2001. – 560 с. (с. 108…125; 128…133).

2. Степин П.А. Сопротивление материалов. – М.: Высш. школа, 1983. – 303 с. (с. 78…91).

3. Справочник по сопротивлению материалов/Писаренко Г.С. и др. – Киев: Наукова думка, 1988. – 737с. (с. 10…20; 24…97).

Контрольные задания для СРС.

1) Метод начальных параметров.

2) Расширить подготовку по материалам учебной литературы (с. 108…125; 128…133; [2], с. 78…91; [3], с. 24…97).

Лекция 15. Тема 9. «Устойчивость центрально сжатых стержней»

Цель лекции – рассмотреть принципы расчетов центрально сжатых стержней на устойчивость при упругой и неупругой потере устойчивости, условие устойчивости, дать основные направления углубленного их изучения.

План лекции (курсивом – материалы для СРС)

1. Определение критической силы центрально сжатого стержня при упругой потере устойчивости.

2. Определение критической силы центрально сжатого стержня при неупругой потере устойчивости.

3. Условие устойчивости центрально сжатого стержня.

8.9. Определение критической силы центрально сжатого стержня при упругой потере устойчивости

Устойчивость центрально сжатого стержня – это способность его сохранять начальную прямолинейную форму равновесия при действии продольных центрально сжимающих сил.

Центрально сжимающая продольная сила, малейшее превышение которой приводит к потере устойчивости стержня, называется критической силой.

При определении критической силы для стержней большой гибкости, теряющих устойчивость при напряжениях до предела пропорциональности материала, используется дифференциальное уравнение оси изогнутого стержня

,

где E∙I_x – параметр жесткости изгибаемого элемента конструкции (единицы измерения – Н∙м², кН∙м² и т.п.).

Однородное дифференциальное уравнение, описывающее продольный изгиб шарнирно опертого центрально сжатого стержня силой F,

, где .

Общее решение этого однородного дифференциального уравнения

,

где произвольные постоянные с₁ и с₂ определяются из граничных условий : в частности, при z = 0 прогиб v = 0 и с₁ = 0, что позволяет упростить уравнение оси изогнутого стержня

.

Наименьшее значение критической силы центрально сжатого стержня длиной l с двумя шарнирно закрепленными концами (формула Эйлера)

.

Значение критической силы центрально сжатого стержня длиной l с произвольно закрепленными концами (обобщение формулы Эйлера)

,

где μ – коэффициент приведенной длины, которым учитывается характер закрепления стержня (например, при шарнирно закрепленных концах стержня μ = 1; при одном свободном конце, а другом жестко заделанном конце стержня μ = 2; при одном шарнирно закрепленном конце, а другом жестко заделанном конце стержня μ = 0,7; для других закреплений стержня значения μ можно найти в справочниках по сопротивлению материалов).

Параметр гибкости (или просто гибкость) стержня

,

где – радиус инерции поперечного сечения стержня;

I – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня (меньшее из двух значений I_х или I_у).

Критическое напряжение при упругой потере устойчивости стержня при напряжениях, меньших (или равных) предела пропорциональности σ_пц материала (вариант формулы Эйлера):

.

Формулами Эйлера можно пользоваться только для стержней большой гибкости при значениях λ ≥λ_о, где

.

Например, для стали 3 λ_о≈ 100.